Polinomios Ortogonales en el D.M.A.

Los seis primeros polinomios de Legendre

Miembros:

 

Historia y Actividades:

Nuestra actividad se sitúa dentro del marco genérico de lo que se conoce como Teoría de Polinomios Ortogonales y Aplicaciones. Hemos trabajado desde el año 1985 en diversos tópicos de esta teoría y en colaboración con diferentes grupos y profesores. Entramos en este campo de la mano del prof. Jaime Vinuesa, de la Universidad de Cantabria. El profesor Vinuesa dirigió las tesis doctorales: Operador Deslizamiento en Matrices H.D.P. Aplicaciones a ceros de P.O. y distribuciones en R de R. Guadalupe en 1984, e Interpretación matricial de los P.O. en el caso complejo de E. Torrano en 1987. Estas tesis marcan el punto de arranque de numerosos trabajos.

Los intereses han sido variados: análisis del operador deslizamiento, comportamiento extremal de los ceros, generalización de la tridiagonal de Jacobi,  análisis del campo de valores de las matrices de Hessenberg infinitas asociadas a problemas hermitianos, extensiones típicas, estudio de los casos discretos, etc,...Desde el principio hemos puesto énfasis en el estudio y localización de los ceros en situaciones muy generales. La colaboración entre los profesores R. Guadalupe y E. Torrano quedó plasmada en numerosas comunicaciones y artículos, para más detalles mirar aquí.

En el año 1991, y coincidiendo con el seminario de Teoría del Potencial impartido en la U.P.M. por el prof. Guillermo López Lagomasino, actualmente catedrático de la Universidad Carlos III de Madrid, orientamos parte de nuestros trabajos hacia el campo de la Aproximación Racional, para lo que fue necesario conocer la distribución de ceros y su comportamiento asintótico en situaciones más generales que las clásicas. Concretamente se trataba de estudiar el comportamiento de ceros de P.O. con coeficientes complejos verificando relaciones de recurrencia a tres términos.

En estos trabajos intervinieron los profesores Guillermo López Lagomasino, entonces profesor de la Universidad de la Habana, y Andrei Martinez Finkelshtein de la Universidad de Almería, así como las profesora/es D. Barrios, E. Dopazo y E. Torrano de esta Facultad y el prof.  V. Tomeo de la Universidad Complutense. El denominador común en casi todos ellos ha sido la aplicación de la Teoría Espectral de Operadores a los distintos problemas planteados.

Nuestro interés por la matriz infinita de Hessenberg D asociada al operador multiplicación por z, y su carácter subnormal como operador en l^2 cuando existe medida, dieron origen a la tesis del profesor V. Tomeo, titulada Subnormalidad de la matriz de Hessenberg asociada a los P.O. en el caso hermitiano, leída en el año 2004. En ella se generaliza el conocido teorema de Krein al caso hermitiano,  y entre otros resultados se calcula explícitamente la resolvente de las secciones principales de D en función de los polinomios desplazados y se analiza su comportamiento en el límite.

En el año 1998, se constituyó el Seminario de P.O. del Departamento de Matemática Aplicada de la Facultad de Informática, integrado por las profesoras/es Carmen Escribano, Antonio Giraldo, Raquel Gonzalo, Mª Asunción Sastre, Venancio Tomeo y Emilio Torrano que se reúne con periodicidad semanal  en el DMA y en el que se estudian los problemas y los tópicos propios de la Teoría de P.O.

En los últimos años hemos estado interesados en el análisis y  las aplicaciones de la teoría de P.O. al estudio de las medidas autosemejantes y en el estudio de las fórmulas de recurrencia para los momentos que aparecen en esos casos. Fruto de este trabajo ha sido la tesis de la profesora MªAsunción Sastre titulada Medidas Autosemejantes con Solapamiento: dimensión, momentos y aproximación, leída en el 2003. Tesis que esta siendo continuada por la profesora C. Escribano, extendiendo algunos de los resultados a matrices de momentos hermitianas y dando origen a interesantes fórmulas iterativas  para las citadas matrices.

Esta interrelación entre los polinomios ortogonales y la geometría fractal está en el origen del Grupo de Investigación reconocido Polinomios Ortogonales y Geometría Fractal.

Además de estas dos tesis ya leídas, se han publicado diversos trabajos relacionados con aquellas, ver  aquí.

Mantenemos contactos, con el grupo dirigido por el prof. Francisco Marcellán de la Universidad Carlos III de Madrid. Así como con los diversos grupos que trabajan en nuestro país en estos temas. Hemos impartido numerosos seminarios sobre este tema (ver por ejemplo documentos ) y en nuestro programa de doctorado dictamos la asignatura: Polinomios ortogonales en la teoría de la aproximación.


Algunas direcciones relacionadas con los O.P. son: 

Actualizado en Mayo de 2005