Los seis primeros polinomios de Legendre
Miembros:
- Carmen Escribano Iglesias
- Antonio Giraldo Carbajo
- Raquel Gonzalo Palomar
- Mª Asunción Sastre Rosa
- Venancio Tomeo Perucha
- Adriana Toni Delgado
- Emilio Torrano Giménez
Historia y Actividades:
Nuestra actividad se sitúa dentro del marco genérico de lo que se conoce como Teoría de Polinomios Ortogonales y Aplicaciones. Hemos trabajado desde el año 1985 en diversos tópicos de esta teoría y en colaboración con diferentes grupos y profesores. Entramos en este campo de la mano del prof. Jaime Vinuesa, de la Universidad de Cantabria. El profesor Vinuesa dirigió las tesis doctorales: Operador Deslizamiento en Matrices H.D.P. Aplicaciones a ceros de P.O. y distribuciones en R de R. Guadalupe en 1984, e Interpretación matricial de los P.O. en el caso complejo de E. Torrano en 1987. Estas tesis marcan el punto de arranque de numerosos trabajos.
Los intereses han sido variados: análisis del operador deslizamiento, comportamiento extremal de los ceros, generalización de la tridiagonal de Jacobi, análisis del campo de valores de las matrices de Hessenberg infinitas asociadas a problemas hermitianos, extensiones típicas, estudio de los casos discretos, etc,...Desde el principio hemos puesto énfasis en el estudio y localización de los ceros en situaciones muy generales. La colaboración entre los profesores R. Guadalupe y E. Torrano quedó plasmada en numerosas comunicaciones y artículos, para más detalles mirar aquí.
En el año 1991, y coincidiendo con el seminario de Teoría del Potencial impartido en la U.P.M. por el prof. Guillermo López Lagomasino, actualmente catedrático de la Universidad Carlos III de Madrid, orientamos parte de nuestros trabajos hacia el campo de la Aproximación Racional, para lo que fue necesario conocer la distribución de ceros y su comportamiento asintótico en situaciones más generales que las clásicas. Concretamente se trataba de estudiar el comportamiento de ceros de P.O. con coeficientes complejos verificando relaciones de recurrencia a tres términos.
En estos trabajos intervinieron los profesores Guillermo
López
Lagomasino, entonces profesor de la Universidad de la Habana, y Andrei Martinez
Finkelshtein
de la Universidad de Almería, así como las profesora/es D. Barrios, E. Dopazo y
E.
Torrano de esta Facultad y el prof. V. Tomeo de la Universidad
Complutense. El denominador común en casi todos ellos ha sido la
aplicación
de la Teoría Espectral de Operadores a los distintos problemas
planteados.
Nuestro interés por la matriz infinita de Hessenberg D
asociada
al operador multiplicación por z, y su carácter subnormal
como operador en l^2 cuando existe medida, dieron
origen a la tesis del profesor V. Tomeo, titulada Subnormalidad de la matriz de Hessenberg
asociada a los P.O. en el caso hermitiano, leída en el
año 2004. En ella se generaliza el conocido teorema de Krein al
caso
hermitiano, y entre otros resultados se calcula
explícitamente la resolvente de las secciones principales de D
en función de los polinomios desplazados y se analiza su
comportamiento en el límite.
En el año 1998, se constituyó el Seminario de P.O. del
Departamento de Matemática Aplicada de la Facultad de
Informática, integrado por las profesoras/es Carmen Escribano,
Antonio Giraldo, Raquel Gonzalo, Mª Asunción Sastre,
Venancio Tomeo y Emilio Torrano que se
reúne con periodicidad
semanal en el DMA y en el que se estudian los problemas y los
tópicos propios de la Teoría de P.O.
En los últimos años hemos estado interesados en el
análisis y las aplicaciones de la teoría de P.O. al
estudio de las medidas autosemejantes y en el estudio de las
fórmulas de recurrencia para los momentos que aparecen en esos
casos. Fruto de este trabajo ha sido la tesis de la profesora
MªAsunción Sastre titulada
Medidas Autosemejantes con Solapamiento: dimensión, momentos y
aproximación, leída en el 2003. Tesis que esta siendo
continuada por la profesora C. Escribano, extendiendo algunos de
los resultados a matrices de momentos hermitianas y dando origen a
interesantes fórmulas iterativas para las citadas matrices.
Esta interrelación entre los polinomios ortogonales y la geometría fractal está en el origen del Grupo de Investigación reconocido Polinomios Ortogonales y Geometría Fractal.
Además de estas dos tesis ya leídas, se han publicado diversos trabajos relacionados con aquellas, ver aquí.
Mantenemos contactos, con el grupo dirigido por el prof. Francisco Marcellán de la Universidad Carlos III de Madrid. Así como con los diversos grupos que trabajan en nuestro país en estos temas. Hemos impartido numerosos seminarios sobre este tema (ver por ejemplo documentos ) y en nuestro programa de doctorado dictamos la asignatura: Polinomios ortogonales en la teoría de la aproximación.
Actualizado en Mayo de 2005