Teorema Fundamental del Cálculo.

 

El Teorema Fundamental del Cálculo proporciona un método abreviado para calcular integrales definidas, sin necesidad de tener que calcular los límites de las sumas de Riemann.

 

Conceptualmente, dicho teorema unifica los estudios de la derivación e integración, mostrando que ambos procesos son mutuamente inversos.

 

 

 

 

Teorema fundamental del cálculo:

Sea f  una función integrable en el intervalo [a, b], entonces:

 

i) F es continua en [a, b]

 

ii) En todo punto c de [a, b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho punto, y F'(c) = f(c).

 

 

El Teorema Fundamental del Cálculo Integral nos muestra que F(x) es precisamente el área limitada por la gráfica de una función continua f(x).

 

 

A cada punto c en [a, b] se le hace corresponder el área Tc.

 

Si calculamos la derivada de esa función:

 

 

 

 

Luego F'(c) = f(c), para todo c en [a, b]

 

Aparentemente, diferenciación e integración son dos procesos completamente diferentes. La diferenciación corresponde a un proceso de obtención de la tangente a una curva en un punto (o también el cambio en la velocidad), mientras que la integración corresponde a un proceso encaminado a encontrar el área bajo una curva. El Teorema Fundamental afirma que ambos procesos son inversos el uno del otro.

 

 

Regla de Barrow.

Sea f(x) una función Riemann-integrable en el intervalo [a, b], y sea F(x) cualquier función primitiva de f(x) en [a, b], es decir:

 

F'(x)=f(x) para todo x en [a, b], entonces:

 

 

La importancia de la regla de Barrow es doble: Por una parte es un método que nos permite calcular integrales definidas obteniendo únicamente una función tal que F’(x)=f(x) y luego calcularla en los límites de integración y por otro representa una conexión entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

 

 

 

Generalización. Regla de la cadena:

 

Sea f(x) una función Riemann-integrable en el intervalo [a, b], y sea F(x) una función primitiva de f(x) en [a, b],

sea g(x) una función diferenciable, entonces: