Aplicaciones de la integral definida.

 

Área del recinto limitado por la gráfica de una función.

  • Sea f(x) continua y f(x) ≥ 0 para todo x en [a, b]:

El área del recinto limitado por la gráfica de una función positiva, el eje de abcisas y dos rectas verticales es:

 

  • Sea f(x) continua y f(x) ≤ 0 para todo x en [a, b]:

El área del recinto limitado por la gráfica de una función negativa, el eje de abcisas y dos rectas verticales es:

 

  • Sea f(x) continua y f(x) toma valores positivos y negativos en subintervalos de [a, b]:

Cuando f(x) no tiene signo constante en el intervalo [a, b], su gráfica determina con el eje OX varias regiones. Habrá que identificar el signo de la función en cada uno de los subintervalos y calcular el área de cada una de las regiones para posteriormente sumarlas.

 

(interpretación geométrica)

 

Área del recinto limitado por la gráfica de dos funciones.

  • Si f1, f2 son dos funciones distintas, integrables en [a, b] y tales que f1(x)f2(x) para todo x en [a, b], entonces el área de la región R = {(x,y)ÎÂ2a ≤ x ≤ b y f1(x) ≤ y ≤ f2(x)}, es:

  • Si f1, f2 son dos funciones distintas, continuas en [a, b] y tales que sus gráficas se cruzan en un número finito de puntos, entonces el área de la región limitada por estas curvas y las rectas verticales x = a e y = b es:

  • Como caso particular, si f: [a, b] en  una función integrable en [a, b] que no mantiene signo constante en dicho intervalo, entonces el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a, y x = b es:

(interpretación geométrica)

 

 

 

Volúmenes de revolución :

El volumen V de revolución engendrado por el área que define una curva continua f(x) sobre un intervalo dado del eje de abcisas puede considerarse igual a la suma de los infinitos cilindros de altura infinitesimal que pueden ser construidos por cortes perpendiculares al eje de simetría del volumen V (el volumen del cilindro infinitesimal: superficie de la base –círculo de radio f(xi)- por la altura Δxi).

 

Sea f una función real continua en [a, b], entonces el volumen de revolución engendrado al girar en torno al eje X, el recinto limitado por las rectas x=a, x=b, el eje X y la gráfica de f(x) viene dado por:

 

 

Longitud del arco de una curva:

La longitud de un arco cualquiera para una curva continua e integrable Riemann, se obtendría como la suma infinita de las longitudes infinitesimales de arco.

 

Sea f una función real continua en [a,b], tal que su derivada f ' también es continua en [a, b]; entonces la longitud de la gráfica de f entre x=a y x=b es:

 

 

Área lateral de revolución:

Sea f una función real continua en [a, b], tal que su derivada f ' también es continua en [a, b]; entonces el área lateral de revolución engendrada por f(x) al girar en torno al eje X, entre las rectas x=a y x=b, es: