hoja4diag2007.html

DIAGONALIZACIÓN (curso 06/07-gpo. 12M2)

> with(linalg):

#PROGRAMA PARA CALCULAR AUTOVAL., AUTOVECT., SE.PROPIOS

EJERCICIO 1.1) Hallar, en cada caso, los subespacios propios y estudiar qué representan éstos geométricamente:
a) f(x,y)=(x,2y); g(x,y)=(x+y,0); h(x,y)=(2x-y,x-2y).
b) A =

> M:=matrix(3,3,[0,1,-1,-1,2,-1,1,-1,2]):nucleo(M);

> C:=matrix(3,3,[-1,1,-2,-1,2,-1,2,-1,3]):nucleo(C);

> P:=matrix(2,2,[1,0,0,2]):nucleo(P);

> P:=matrix(2,2,[1,1,0,0]):nucleo(P);

> P:=matrix(2,2,[2,-1,1,-2]):nucleo(P);

$3^(1/2), `de mult.alg `, 1, ` con B(Ker(A-`, 3^(1/2), ` I )= `, {VECTOR([1, 2-3^(1/2)])}, ` g( `, 3^(1/2), `)`, ` =`, 1$

$-3^(1/2), `de mult.alg `, 1, ` con B(Ker(A-`, -3^(1/2), ` I )= `, {VECTOR([1, 2+3^(1/2)])}, ` g( `, -3^(1/2), `)`, ` =`, 1$

$3^(1/2), `de mult.alg `, 1, ` con B(Ker(A-`, 3^(1/2), ` I )= `, {VECTOR([1, 2-3^(1/2)])}$

$-3^(1/2), `de mult.alg `, 1, ` con B(Ker(A-`, -3^(1/2), ` I )= `, {VECTOR([1, 2+3^(1/2)])}$

> P:=matrix(2,2,[1,4,2,3]):nucleo(P);

EJERCICIO 2.) Determinar subespacios propios y subespacios invariantes no triviales en los siguientes casos:
a)        f(x,y,z)=(x,z,-y).
b)        f(x,y,z)=(x-y+3z, 2y-3z, -z).
c)        f(x,y,z)=(x-y+3z, y-3z, -z).
d)        f(x,y,z)=(x-y+z, 2y-z, z).

> P:=matrix(3,3,[1,0,0,0,0,1,0,-1,0]):nucleo(P);

> P:=matrix(3,3,[1,-1,3,0,2,-3,0,0,-1]):nucleo(P);

> P:=matrix(3,3,[1,-1,3,0,1,-3,0,0,-1]):nucleo(P);

> P:=matrix(3,3,[1,-1,1,0,2,-1,0,0,1]):nucleo(P);

Ejercicio 3.Dado el endomorfismo f:P3(IR )*P3(IR ) definido por f(p(x))=p(x+1). Calcular sus autovalores y sus subespacios propios

> a:=m*x^3+n*x^2+o*x+p;b:=expand(subs(x=y+1,a));coeffs(b,y);

> M:=matrix(4,4,[1,0,0,0,3,1,0,0,3,2,1,0,1,1,1,1]):nucleo(M);

EJERCICIO 6.Sea f el endomorfismo de IR3 de ecuaciones:                y1 = 2x1 + x2 - x3.
                                                                y2 = -x1 - x2.
                                                                y3 = -x1 + x2 + 2x3.
a)        Hallar una base de la imagen y otra del núcleo de f.
b)        Averiguar si f es diagonalizable. En caso afirmativo obtener su forma diagonal y la matriz de cambio de base.

> P:=matrix(3,3,[2,1,-1,-1,-1,0,-1,1,2]):c:=basis(P,'colspace'):b:=kernel(P):

> print(`B(Im(f))= `,c);print(`B(Ker(f))= `,b);

> nucleo(P);J:=jordan(P,'S'):print(`diag = `,J,` matriz de paso(P-1*A*P=diag) = `,S);

EJERCICIO 7.Estudiar si el siguiente automorfismo de IR3 es diagonalizable: f(e1 - e2) = (-3,-2,1);
f(e1 + e3) = (-3,-3,0); f(3e2 - 3e3) = (4,3,1) siendo B = {e1, e2, e3} la base canónica de IR3 .

> P:=matrix(3,3,[-7/3,2/3,-2/3,-2,0,-1,2/3,-1/3,-2/3]):nucleo(P);

EJERCICIO 8. a)        Determinar, según los valores de a y b, cuándo la matriz A es diagonalizable:        A=
        b)        Determinar, según los valores de a, cuándo los endomorfismos siguientes son diagonalizables:
                        f(x,y,z)=(x-2y-(2+a)z , y+az , z)
                        f(x,y,z)=(x+a(x-y+z) , (a+2)x-ay+(a-1)z , 2x-y)
Diagonalizar los casos anteriores que sean posibles.

> readlib(unassign):unassign(b):A:=matrix(3,3,[a,l,0,0,-1,0,0,0,1]):nucleo(A);

Error, (in assign) invalid arguments

> A1:=matrix(3,3,[a,0,0,0,-1,0,0,0,1]):nucleo(A1);#caso 1:l=0

> A2:=matrix(3,3,[1,l,0,0,-1,0,0,0,1]):nucleo(A2);#caso 2: a=1

> A3:=matrix(3,3,[-1,l,0,0,-1,0,0,0,1]):nucleo(A3);#caso 3: a=-1

A4:=matrix(3,3,[1,0,0,0,-1,0,0,0,1]):nucleo(A4);#caso 4: a=1,l=0

> A:=matrix(3,3,[1,-2,-2-k,0,1,k,0,0,1]):nucleo(A);#Caso a<>0

> Id:=array(identity,1..3,1..3):B1:=evalm(A-Id):ffgausselim(B1);

> A:=matrix(3,3,[1,-2,-2,0,1,0,0,0,1]):nucleo(A);#Caso a=0

> A7:=matrix(3,3,[1+k,-k,k,k+2,-k,k-1,2,-1,0]):nucleo(A7);Id:=array(identity,1..3,1..3):A8:=evalm(A7-Id):A9:=evalm(A7+Id):rank(A8):rank(A9):#Caso a<>0,4

> ffgausselim(A8);ffgausselim(A9);

> A11:=matrix(3,3,[1,0,0,2,0,-1,2,-1,0]):nucleo(A11);print(`la base pedida es la unión de las dos anteriores`);#Caso k=0

> A12:=matrix(3,3,[5,-4,4,6,-4,3,2,-1,0]):nucleo(A12);#Caso k=4

EJERCICIO 8 aptdo.c .Sea f: IR4 ? IR4 definida por: f(x,y,z,t)=(x, 2x, x, x+ay). Calcular a? IR para que f sea diagonalizable, y en estos casos, hallar una base B tal que la matriz de f respecto de B sea diagonal.

> A:=matrix(4,4,[1,0,0,0,2,0,0,0,1,0,0,0,1,k,0,0]):nucleo(A);#Caso a<>0

> B1:=matrix(4,4,[1,0,0,0,2,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0]):nucleo(B1);print(`la base pedida es la unión de las dos anteriores`);#Caso a=0

Ejercicio 9.Diagonalizar el endomorfismo f(ax3 + bx2 + cx + d) = dx3 + cx2 + bx + a

> M:=matrix(4,4,[0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0]):nucleo(M);

> j:=diag(-1,-1,1,1);

Ejercicio 10.Sea f:M2x2(IR )*M2x2(IR ) una aplicación lineal dada por:
        f(A) = AF - FA siendo F = . Se pide:
a)        Ecuaciones de f en la base usual de M2x2(IR )
b)        Base y ecuaciones implícitas de Kerf.
c)        Polinomio característico y espectro de f.
d)        La base de autovectores, si existe, respecto de la que la matriz de f es diagonal.

> A:=matrix(2,2,[x,y,z,t]):F:=matrix(2,2,[1,2,0,3]):print(`f( `,A,` )= `,evalm(A&*F-F&*A));

> A1:=matrix(4,4,[0,0,-2,0,2,2,0,-2,0,0,-2,0,0,0,2,0]):a:='a':b:='b':a2:=matrix(4,1,[a,b,c,d]):a3:=matrix(4,1,[x,y,z,t]):print(`las ecuaciones son: `,a2,`= `,A1,a3);

> eq:=linalg[geneqns](A1,x):print(`la base del núcleo es B(Kerf)= `,kernel(A1));print(`sus ecuaciones son : `,eq[1]/(-2),eq[2]/2);

> print(`el polin. caract. es : `,charpoly(A1,lambda));print(`el espectro es : `,{eigenvalues(A1)});

> nucleo(A1);

Ejercicio 11.Sea f un endomorfismo de IR3 y sea B={e1, e2, e3} una base, sabiendo que u1 = e1 - e3 es un autovector,   f(2e1 + e2 + 2e3) = 3e1 + 6e2 + 3e3,   f(2e1 - e2) = -e1 + e3, y que la suma de los autovalores de f es 2, calcular:
a)        Las ecuaciones de f respecto de la base B.
b)        Una base de autovectores de f respecto de la cual su matriz es diagonal.

> A4:=matrix(3,3,[a,2*a+1,-2*a+1,b,2*b,-2*b+3,c,2*c-1,-2*c+2]);vecu:=vector(3,[1,0,-1]);

> ee:=convert(evalm(A4&*vecu),vector);s:=vector(3,[lambda,0,-lambda]);

> sis:={ee[1]=s[1],ee[2]=s[2],ee[3]=s[3]};solve(sis,{a,b,c,lambda});

> A4:=matrix(3,3,[1-c,2*(1-c)+1,-2*(1-c)+1,1,2,1,c,2*c-1,-2*c+2]);

> polcarac:=charpoly(A4,mu);autoval:={solve(pol,mu)};

> print(`para que los autovalores sumen dos tomamos c= `,1);

> B4:=matrix(3,3,[0,1,1,1,2,1,1,2-1,0]):nucleo(B4);

> print(`por tanto la matriz del endomorfismo-solución es : `,B4);

Ejercicio 12.Dada la matriz A = calcular An. Lo mismo para

> A3:=matrix(3,3,[1,1,0,0,2,0,-2,1,3]):d:=jordan(A3,'P'):dn:=diag(1^n,2^n,3^n):print(`A^n = `,evalm(P&*dn&*inverse(P)));

> a:='a':b:='b':A4:=matrix(3,3,[a,b,b,b,a,b,b,b,a]):d:=jordan(A4,'P'):dn:=diag((a-b)^n,(a+2*b)^n,(a-b)^n):print(`A^n = `,evalm(P&*dn&*inverse(P)));

Ejercicio 13.Sabiendo que el endomorfismo f: IR2 * IR2 es diagonalizable, que los vectores (1,2) y (3,1) son vectores propios y que f(5,-5)=(2,-1), hallar los autovalores de f y la matriz de f en la base canónica.

> restart:with(linalg):AF:=matrix(2,2,[x,y,z,t]):cero:=vector(2,[0,0]):vec1:=vector(2,[1,2]):vec2:=vector(2,[3,1]):dos:=evalm((AF-diag(lambda,lambda))&*vec2):

Warning, new definition for norm

Warning, new definition for trace

> vec3:=vector(2,[5,-5]):vec4:=vector(2,[2,-1]):tres:=evalm(AF&*vec3):

> uno:=evalm((AF-diag(lambda,lambda))&*vec1):eqs:={uno[1]=0,uno[2]=0,dos[1]=0,dos[2]=0,tres[1]=vec4[1],tres[2]=vec4[2]};#supongo que posee un único autovalor