Introducción Teórica

 

 

¿ Que es un fractal ?

Un fractal es un objeto o entidad que demuestra auto-similitud, en algún sentido, a todas sus escalas. El objeto no va a tener porque tener la misma estructura en todas sus escalas, pero el mismo "tipo" de estructuras deben aparecer en todas sus escalas. Una representación de dicho objeto en un gráfico log-log frente a un gráfico de escala, nos va a dar una línea recta, cuyo "slope" se conoce como "Dimensión del Fractal". El ejemplo de un fractal sería la medida de la costa de un país, con diferentes conjuntos de reglasde medidas. Cuanta más pequeña sean estas, mayor será la longitud medida.

Modelización con Geometría Fractal .

Muchos objetos en la naturaleza son muy complicados e irregulares, y no pueden ser modelados usando la Geometría Clásica ( secciones cónicas, esferas y otras familias ). Por ejemplo, nubes, árboles, montañas, y costas no pueden ser reducidos a una combinación de formas "simples" de Geometría Clásica. Donde la Geometría Clásica acaba como una herramienta para analizar la complejidad de objetos naturales, la Geometría Fractal comienza. Hoy en día fractales son usados para modelar un conjunto muy amplio de entidades biológicas, topográficas, .. al igual que para producir nuevos efectos deslumbrantes para su uso en diseño gráfico, al igual que en las películas, música, video-juegos, etc.

¿ Cuanto mide la costa de Inglaterra ?

La cuestión de "¿ Cuanto mide la costa de Inglaterra ?" fué planteada por Benoit Mandelbrot , conocido como el padre de la Teoría Fractal moderna, en su libro "La Naturaleza de la Geometría Fractal". El problema radica en la longitud de la regla que cada uno utilize para medir. Al contrario que los circulos y otras formas geométricas clásicas, los fractales son formas muy irregulares. Están llenos de picos, agujeros, e infinidad de formas bruscas. Una medida más pequeña, nos llevaría a profundizar más y más en la forma de la costa, de tal forma que nuestra curva se iría ajustando más y más a la longitud real de la costa. Si midieramos dicha costa con una unidad de medida como puede ser la milla inglesa, obtendríamos un valor. Si posteriormente usaramos una más pequeña como puede ser el kilómetro, dicha medida se haría más grande ya que el kilómetro es capaz de acoplarse mejor a la curva de la costa de Inglaterra. Así, podemos observar, como al reducir la escala, la longitud estimada crece y crece sin nigún limite. Pero según dicha medida se acerca a 0, la longitud de la curva se va aproximando a infinito. Dicha dificultad a la hora de medir la longitud de una curva debido a la irregularidad de la misma, es característica de las curvas y superficies fractales.

Auto-Similitud

La teoría fractal está basada en teorías de geometría y dimens.... Geométricamente, los fractales son independientes de la escala en que son representados, y van a aparecer igualmente de detallados a cualquier nivel de escala. Esta propiedad, conocida como auto-similitud, significa que cualquier región de una curva fractal, si la ampliásemos a cualquier nivel de escala ( tan grande como se quiera), esta nueva región sería igual que la región inicial. En otras palabras si reducimos o ampliamos un fractal, su apariencia va a permanecer inalterada. Esta repetición de patrones a todas las escalas, son fiel reflejo de algunos objetos del mundo real. Por ejemplo, volviendo al ejemplo de la costa e imaginemos que estamos en el espacio contemplando la costa de Inglaterra. Según nos acercaramos a la costa de Inglaterra, su costa sería igualmente de compleja. Incluso una vez en la tierra podríamos seguir estudiando con microscopio, donde está la frontera de la costa.

Dimensión en los fractales

El término fractal, introducido por Benoit Mandelbrot en 1975, es una abreviación de " dimensión fractal " . A todos nos han enseñado que la recta es una objeto unidimensional ( R ) , y que el plano tiene dos dimensiones ( R * R ). Así entre medias, nos vamos a poder encontrar objetos cuya dimensión no es ni uno ni dos, sino que se encuentra entre medias. Dichas figuras son las que conocemos coo fractales. En terminos de la geometría clásica, la dimensión de un objeto y su dimensión fractal es la misma. Por el contrario, un fractal es un objeto que tiene una dimención fractal que es estrictamente mayor que su dimensión clásica.. A pesar de ser curvas continuas, los fractales son figuras tan abruptas, que no son diferenciables en ningún punto de la misma. El concepto de dimensión fractal nos va a dar una medida del grado de irregularidad de la curva. Cuanta más irregular y abrupta sea la curva mayor será la dimensión fractal de la misma, siendo este siempre un valor entre 1 y 2.

 

Algunos Tipos de Fractales

  1. Mandelbrot y los algoritmos de escape
  2. La figura de la izquierda es un fractal de Mandelbrot, y se genera mediante un algoritmo de escape. Para cada punto se calculan una serie de valores mediante la repetición de una formula hasta que se cumple una condición, momento en el que el cual se asigna al punto un color relacionado con el número de repeticiones. Los fractales de este tipo precisan de millones de operaciones, por lo cual sólo pueden dibujarse con la inestimable ayuda del ordenador.

    Una característica especial del fractal Mandelbrot (y de otros tipos afines) es la de generar un infinito conjunto de fractales, ya que por cada punto se puede generar un fractal tipo Julia, que no es sino una ligera modificación de la fórmula del Mandelbrot.

  3. IFS
  4. El sistema de funciones iteradas (IFS) es un método creado por M. Barnsley, basándose en el principio de autosemejanza de los fractales. En un fractal IFS siempre se puede encontrar una parte de la figura que guarda una relación de semejanza con la figura completa. Esa relación es a menudo muy difícil de apreciar, pero en el caso del helecho de la izquierda es bastante clara: cualquier hoja es una réplica exacta de la figura completa.
  5. Lindenmayer y Sierpinski
  6. La idea es sencilla y antigua. Un triángulo en el que se aloja otro uniendo los puntos medios de cada uno de sus lados. Esto se repite con todos y cada uno de los triángulos formados que tengan la misma orientación que el original, y así sucesivamente. El triángulo de Sierpinski es uno de los pocos fractales que se puede dibujar con exactitud sin ayuda de un ordenador, siguiendo las instrucciones anteriores. Este es un ejemplo de fractal polivalente. También puede ser generado siguiendo un sistema de funciones iteradas , un algoritmo de tiempo de escape o una serie de comandos Lindenmayer. Este último sistema está1 basado en un guión de traslaciones y rotaciones que se aplican al trazado de la figura fractal.