LA INTEGRAL DE RIEMANN. VISUALIZACIÓN DEL PROCESO (Java)



VISUALIZACIÓN INTERACTIVA DEL PROCESO (applet JAVA)

Aquí se muestra un programa en Java (applet Java), que permite visualizar interactivamente el proceso de integración Riemann (Darboux-Riemann).

Las posibilidades que tiene este programa son:

Visualización interactiva del proceso de integración de Riemann
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INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

El problema del cálculo de áreas planas y de volúmenes de sólidos se remonta a los tiempos de los griegos. Básicamente existían dos tipos de métodos: los métodos heurísticos o atómicos, y los métodos de exhausción.

Los métodos heurísticos se basaban en la teoría atomista de Demócrito, que consideraba una línea, superficie o volumen como formada de un gran (aunque finito) número de átomos. Se trataba entonces, de sumar todos sus átomos para calcular su longitud, superficie o volumen. Con este método, Demócrito calculó por primera vez los volúmenes del cono y la pirámide.

Los métodos de exhausción trataban de forma más rigurosa el cálculo de áreas y volúmenes, realizando demostraciones exhaustivas de los resultados, pero tenían la desventaja de la necesidad de conocer el resultado para poder demostrarlo. Estos métodos fueron típicos de la Matemática griega y renacentista.

La obra de Arquímedes fue la mayor aportación de la matemática griega al cálculo integral. Entre sus resultados se encuentran las relaciones entre el área de la esfera y la longitud del ecuador, entre el volumen de la esfera y el del cilindro circunscrito, el área de un segmento de parábola, el área de la elipse, el volumen y área lateral de esferas, conos y pirámides. Arquímedes utilizó ambos tipos de métodos.

Los problemas de cálculo de áreas resurgieron en el siglo XVII por las necesidades de la Mecánica. Johann Kepler calcula el volumen de determinadas vasijas obtenidas a partir de la revolución de segmentos de cónicas: un círculo está formado por una infinidad de triángulos con un vértice común en el centro. Era un método más heurísitico y menos riguroso que el de Arquímedes.

En el siglo XVII el principio de Cavalieri establece que dos sólidos con la misma curva de altura tienen el mismo volumen si las secciones planas de igual altura tienen el mismo área. Este principio permitió integrar polinomios.

Pascal calculó áreas y volúmenes relacionados con la cicloide, utilizando indivisibles. También obtuvo por sumación las áreas de las funciones sen x, sen2 x y x sen x cuando uno de los límites es 0 ó PI.

En 1670 el matemático Barrow descubre un método general para calcular tangentes y formula la relación entre la tangente y el área, aunque parece que ¡no fue consciente de la importancia de su descubrimiento!.

El reconocimiento del problema del cálculo de áreas como el inverso del cálculo de diferenciales, se debe a Newton y Leibniz. Newton sí se dio cuenta de la relación existente entre los dos problemas, unificándolos en el "cálculo de fluxiones". Newton calculó áreas por antidiferenciación, dando el primer enunciado explícito del teorema fundamental del Cálculo. Independientemente, Leibniz llega a los mismos resultados, pero considerando la integración como una suma. Leibniz introdujo además la moderna notación de .
El nombre de Cálculo Integral fue puesto por Jacob Bernoulli a finales del siglo XVII. En el siglo XIX Euler publicó en un libro todo el cálculo integral elemental.

El Cálculo Integral fue asentado de forma rigurosa a partir de la noción de límite de Cauchy. Pero la integral de Cauchy sólo era válida para funciones continuas en intervalos cerrados y acotados. Esto dejaba fuera muchas funciones, así que fue Riemann quien definió la integral que lleva su nombre, ampliando la clase de funciones integrables a las funciones continuas salvo en un número numerable de discontinuidades; pero la relación entre derivación e integración deja de ser válida en los puntos de discontinuidad.

Y el gran desarrollo del análisis hizo aparecer la noción de integral de Lebesgue, en el que toda función definida de forma constructiva es integrable. Esta integral tiene mayor generalidad, y un mejor comportamiento en los procesos de paso al límite.

Introduciremos la integral de Riemann para tratar el problema del cálculo de áreas.
 

EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DE ÁREAS. APROXIMACIONES A SU SOLUCIÓN

Objetivo

El objetivo es calcular el área exacta que encierra una curva dada por una función y = f(x)0, el eje X, y las rectas x = a y x = b.

Pero no todas las funciones permiten delimitar un área. Para que tenga sentido el cálculo de áreas, la función f debe ser "buena" o integrable Riemann.

Tomaremos como ejemplo el problema de calcular el área que hay entre la función y = x2 y el eje X, desde x = 0 hasta x = 2.

De manera gráfica, el problema se puede representar así:

Pero, ¿cómo se ha llegado al cálculo exácto del área, es decir, al valor 2.666667?

Como sabemos calcular el área de un rectángulo (base x altura), consideramos como primera aproximación el área de una caja o rectángulo que tiene como base todo el intervalo de integración [0, 2], y de altura tomamos:

    - el menor valor de y=x2 en [0,2], es decir, 0; entonces el área del rectángulo es 2 x 0 = 0 (suma de Riemann inferior). Este valor está siempre por debajo del valor real del área.
    - el mayor valor de y=x2 en [0,2], es decir, 22=4; así el área es 2 x 4 = 8 (suma de Riemann superior). Como este rectángulo encierra toda la gráfica, el valor de su área está siempre por encima del área que queremos calcular.

Como segunda aproximación, dividimos el intervalo [0, 2] en dos subintervalos y volvemos a hacer lo mismo en cada uno de ellos, esta vez sumando las áreas de dos rectángulos. Así, tenemos:

    - los valores menores de y=x2 en los intervalos son 02=0 y 12=1; así que el área es (1x0)+(1x1)=1 (suma inferior). Este valor siempre estará por debajo del valor real del área.
    - y los valores mayores de y=x2 son 12=1 y 22=4; así que el área es (1x1)+(1x4)=5 (suma superior). Este valor siempre estará por encima del valor real del área.

De esta forma, estamos acotando. A medida que se aumente el número de subintervalos el área correspondiente a la suma inferior y a la superior se irán acercando. Si la función es "buena", o integrable Riemann, la distancia entre ambas aproximaciones tiende a 0, y entonces el área entre la función, el eje X y las rectas x= a y x = b será el límite de estas dos aproximaciones (una por arriba y otra por abajo).
 

Aproximación dinámica (animación Java):

A continuación se muestra una animación desarrollada en Java, que muestra gráficamente la aproximación dinámica del ejemplo anterior, es decir, x2 dx, siendo a = 0 y b = 2.


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Conclusiones:

Como hemos visto, para esta función y = x2 a medida que aumenta el número de puntos de la partición que tomamos para aproximar el área, el error que se produce cada vez es menor, tanto para la suma de Riemann superior como para la inferior.

Todas aquellas funciones que cumplan esta propiedad se dice que son Riemann-Integrables. Ahora veremos con un ejemplo cómo esto no siempre es así (la función de Dirichlet).
 

Ejemplo de función no integrable Riemann. La función de Dirichlet.

Veamos una función que no es integrable Riemann. Dada la función de Dirichlet en [a, b], definida así:

Su representación gráfica aproximada es:

¿Por qué no es integrable Riemann?

Sean cuales sean [xi-1, xi], el valor máximo de f(x) en el intervalo es 1, y el mínimo es 0, ya que por muy pequeño que sea el intervalo, siempre habrá números racionales e irracionales en su interior. De esta forma, el valor de las sumas superior e inferior de Riemann será:

I(f, P) = 0 (x1 - x0) + 0 (x2 - x1) + ... + 0 (xn - xn-1) = 0    (Suma inferior)

S(f, P) = 1 (x1 - x0) + 1 (x2 - x1) + ... + 1 (xn - xn-1) = b - a    (Suma superior)

Esta situación se dará sea cual sea la partición P que se eliga. Por tanto, la suma superior y la inferior no se aproximan entre sí, y el valor de la integral superior y de la integral inferior será:

I*( f ) = 0    <    I*( f ) = b - a

Al no ser iguales, la función de Dirichlet no es Riemann-integrable.