Sea L:R2®R2 una aplicación lineal con matriz asociada A. Sea J la matriz de Jordan de A. Entonces L y L' definida por J son aplicaciones lineales linealmente conjugadas. Por tanto, para estudiar los posibles comportamientos dinámicos de las aplicaciones lineales basta considerar aquellas definidas por matrices reducidas de Jordan.
Consideraremos el caso en que todos los autovalores tienen módulo distinto de uno, dejando el caso de algún autovalor con módulo 1 para el lector.
Caso 1: J es diagonalizable con autovalores l1 y l2 (puede ser l1=l2):
Caso 2: J no es diagonalizable con autovalor doble l:
Caso 3: J es diagonalizable con autovalores complejos conjugados l(cosq+isenq) y l(cosq-isenq), entonces todas las órbitas convergen al punto 0 o divergen en módulo a infinito (excepto la del 0) según sea |l|<1 o |l|>1,
Si f:R2®R2 es una aplicación diferenciable y p es un punto fijo de f, entonces el comportamiento de f en p vendrá determinado por los autovalores de la matriz jacobiana f'(p) de f en p. Análogamente, si p es un punto periódico de f con periodo n, el comportamiento de f en p vendrá determinado por la matriz de las derivadas parciales n-ésimas de f en p.
Teorema. Si p es un punto fijo tal que todos los autovalores de f'(p) tienen módulo menor que 1, entonces p es un punto fijo atractivo.
Teorema. Si p es un punto fijo tal que todos los autovalores de f'(p) tienen módulo mayor que 1, entonces p es un punto fijo repulsivo. En el caso de que f sea un difeomorfismo, existirá un entorno abierto U de p tal que limn®¥f-n(x)=p para todo xÎU.
Teorema. Si p es un punto fijo y existe un autovalor de f'(p) con módulo menor que 1 y otro con módulo mayor que 1 (i.e. p es un punto de silla), entonces existe una curva gs:(-e,e)®R2 invariante por f tal que
Análogamente existe una curva gu:(-e,e)®R2 invariante por f tal que
Sea p es un punto fijo hiperbólico de silla y sea gs la variedad estable local en p. La variedad estable en p se define como Ws(p)=Èn=0¥f-n(gs). Análogamente, si gu es la variedad inestable local en p, se define la variedad inestable en p como Wu(p)=Èn=0¥fn(gu).
Sea f:R2®R2 dada por f(x,y)=(x+y,x+2y). f es una aplicación lineal con determinante 1 que conserva áreas. La imagen por f del cuadrado unidad es un rombo de área igual a 1.
Los autovalores de f son l1=(3+Ö5)/2>1 y l2=(3-Ö5)/2<1. Por tanto el origen es un punto de silla. La variedad inestable es la generada por el autovector (1,(1+Ö5)/2) asociado al autovalor l1, mientras que la variedad estable es la generada por el autovector (1,(1-Ö5)/2) asociado al autovalor l2. Las pendientes de ambas variedades son irracionales. La de la inestable es igual a la razón áurea.
Consideremos ahora la relación de equivalencia R en R2 dada por (a,b)R(c,d)Ûa-cÎZ, b-dÎZ. Es fácil ver que todo punto de R2 es equivalente a un punto situado en el cuadrado unidad. Además, en el cuadrado unidad los pares de puntos opuestos en lados opuestos del cuadrado también son equivalentes. El conjunto cociente de R2 por esta relación de equivalencia es un toro T obtenido al identificar lados opuestos de un cuadrado.
La aplicación f anterior induce una aplicación g:I2/R®I2/R en el toro T que se puede expresar como g(x,y)=(FRAC(x+y),FRAC(x+2y)). La acción de g equivale a descomponer I2 en 4 triángulos, aplicando unos en otros según los colores de la siguiente figura
Las variedades estable e inestable de la aplicación en el toro serán las proyecciones, por la relación de equivalencia de la variedades estable e inestable en R2. Como ésta tenían pendientes irracionales, serán densas en T, teniendo además un número infinito (y también denso) de cortes transversales.
En la siguiente figura se muestran la variedad estable (en azul) y la variedad inestable (en verde) de la aplicación de arnold en el toro:
En la siguiente figura se muestran 1000 puntos de las órbitas de los puntos (1/5,1/10), ((7-3Ö5)/2,7-3Ö5) (situado en la variedad estable) y (1/(4+4Ö5),1/8) (situado en la variedad inestable):
En el primer caso se tiene una órbita periódica. ¿Podemos determinar todas las órbitas periódicas? Como las entradas de la matriz son enteras, si la órbita de un punto es periódica, ambas coordenadas han de ser racionales. Por otra parte, es fácil ver que si un punto tiene ambas coordenadas racionales será preperiódico. Cómo g es biyectiva todos éstos serán periódicos. Por tanto, los puntos periódicos son exactamente aquellos que tienen ambas coordenadas racionales. En la siguiente tabla se puede ver el número de puntos de cada periodo y el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de sus coordenadas.
| Periodo | nº de órbitas | denominador |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 5 |
| 3 | 5 | 4 |
| 4 | 10 | 15 |
| 5 | 24 | 11 |
Los números de la columna de la izquierda tienen la siguiente expresión: dn=Fn+Fn-2 si n>1 impar o dn=5Fn-1 si n es par, donde Fn es el n-ésimo número de Fibonacci.
En la segunda imagen tenemos una órbita asintóticamente estable, y en la tercera una aparentemente densa.
Teorema. g es caótica en T.
En este teorema la densidad de los puntos homoclínicos (intersecciones transversales de la variedad estable y de la inestable) juegan un papel fundamental, pues permiten construir herraduras de Smale (ver sección siguiente) y usando éstas se puede obtener por ejemplo la densidad de los puntos periódicos.
El teorema anterior es un caso particular de un teorema general que establece que si L:R2®R2 es una aplicación lineal con matriz asociada A tal que todas las entradas de A son enteras, det(A)=±1 y tal que A es hiperbólica, entonces L induce una aplicación LA en T, que es un difeomorfismo en T que además es caótico.
Sea f:[0,1]´[0,1]®[0,1]´[0,1] por f(x,y)=(2x,y/2) si x£1/2 y f(x,y)=(2x-1,y/2+1/2) si x>1/2.
Tras componer 2 de estas aplicaciones se obtiene
La acción de f sobre el cuadrado unidad corresponde a la superposición de dos acciones sucesivas. Una de estirado y otra de plegado. La acción de estirado garantiza la sensibilidad a las condiciones iniciales. La acción de plegado garantiza la transitividad topológica.
En binario la aplicación se expresa como f((a1,a2,a3,...),(b1,b2,b3,...)) = ((a2,a3,a4,...),(a1,b1,b2,...)).
Teorema. f es caótica.
Sea f:[0,1]´[0,1]®[0,1]´[0,1] por f(x,y)=(2x,ry) si x£1/2 y f(x,y)=(2x-1,(1-r)+ry) si x>1/2, donde r es un número real fijo comprendido entre 0 y 1/2.
Tras componer 2 de estas aplicaciones se obtiene
La acción de f sobre el cuadrado unidad corresponde a la superposición de dos acciones sucesivas. Una de estirado y otra de plegado. La acción de estirado garantiza la sensibilidad a las condiciones iniciales. La acción de plegado garantiza la transitividad topológica.
Teorema. Sea L=ÇnÎNfn([0,1]´[0,1]). Entonces L es el producto de [0,1] por un conjunto de tipo Cantor. Además, f|L es caótica.
Sea C un cuadrado de lado unidad y consideramos una transformación f que realiza los siguientes pasos. Contrae C verticalmente por un factor k<1/2, lo expande horizontalmente por el factor 1/k, lo dobla y coloca el resultado en el interior de C.
La herradura de Smale es la intersección de las sucesivas imágenes de las iteraciones de f.
Teorema. Sea L=ÇnÎNfn([0,1]´[0,1]). Entonces L es compacto, no vacío y localmente es el producto de un intervalo por un conjunto de tipo Cantor.
Sea C un cuadrado de lado unidad y consideramos una transformación f que realiza los siguientes pasos. Contrae C verticalmente por un factor k<1/2, lo expande horizontalmente por el factor 1/k, lo dobla y coloca el resultado como se ve en la figura.
Tras 2 iteraciones se tiene
La aplicación se puede extender a
y tras 2 iteraciones se tiene
En este último caso, si llamamos D1 y D2 a los 2 semidiscos pegados al cuadrado, se tiene que f|D1 es contractiva y por tanto existe dÎD1 tal que fn(D1)®d. Por otra parte f(D2)ÌD1 y por tanto fn(D2)®d.
Sea
L={xÎC|fn(x)ÎC para todo nÎZ}.
que es el mismo para los 2 casos.
Entonces L=L+ÇL- donde L+ = {x|fn(x)ÎC para todo nÎNÈ{0}}=Çn=0¥f-n(C), es un producto de un conjunto de Cantor por un intervalo vertical, y L- = {x|f-n(x)ÎC para todo nÎNÈ{0}} = Çn=0¥fn(C) es un producto de un intervalo horizontal por un conjunto de Cantor. Por tanto L es un producto de conjuntos de Cantor.
Para ver esto, observamos que la imagen inversa del cuadrado está formada por 2 franjas verticales, que se aplican en cada una de las 2 componentes de la intersección de la imagen del cuadrado consigo mismo.
Por tanto f(C)ÇC=ff-1(C) está formada por las 2 franjas horizontales de la derecha, y f-1(C) por las 2 franjas verticales de la izquierda.
Ahora, los puntos que al iterarlos 2 veces permanecen en el cuadrado formarán 4 franjas verticales que se aplican en cada una de las 4 componentes de f2(C)ÇC
Por tanto f2(C)ÇC estará formada por las 4 franjas horizontales de la derecha, y f-2(C) por las 4 franjas verticales de la izquierda. Continuando este proceso se obtiene el resultado.
Teorema. f|L es caótica.
En 1976, Michel Henon introdujo el siguiente sistema dinámico inducido por una aplicación Hab:R2®R2 definida por la única expresión
Hab(x,y)=(1+y-ax2,bx).
Se tiene que Hab=h3h2h1 donde h1(x,y)=(x,y+1-ax2), h2(x,y)=(bx,y) y h3(x,y)=(y,x). Esto es, Hab equivale a la composición de tres transformaciones: Un doblamiento en la dirección del eje OY, una contracción en la dirección del eje OX y una reflexión en la diagonal.
Los puntos fijos de H son p+=(b-1+Ö(b-1)2+4a)/(2a) (1,b) y p-=(b-1-Ö(b-1)2+4a)/(2a) (1,b). Por tanto para cada b existe a0(b) tal que
Por otra parte, la matriz jacobiana de Hab en un punto (x0,y0) tiene como autovalores l1=-ax0+Ö(ax02+b) y l2=-ax0-Ö(ax02+b).
Entonces p- es un punto de silla para a>a0 y por otra parte existe a1>a0 tal que p+ es atractivo si a0<a<a1. Si a>a1, p+ es un punto de silla.
Si b=0.3 se tiene a1=0.3657. Para a2=0.9125 vuelve a duplicarse el periodo.
Para ver la forma que tiene el atractor en un caso particular, por ejemplo para a=1.4 y b=0.3, se obtiene primero un cuadrilátero invariante (con vértices (-1.33,0.42), (1.32,0.133), (1.245,-0.14) y (-1.06,-0.5)), y se itera de la forma siguiente
En las imágenes anteriores se ve que las órbitas de los puntos del cuadrilátero convergen hacia el atractor. Sin embargo, esto no es cierto para todos los puntos de R2. Por ejemplo, la órbita del punto (10,0) es {(10,0), (-139,3), (-27045.4,-41.7), (-1024035166.32,-81113.62),...}, que diverge rápidamente.
Problema. Diseñar un algoritmo que nos halle la cuenca de atracción del atractor de Henon.
En las imágenes anteriores también se ve que la aplicación H contrae áreas. La razón de contracción es justamente el valor absoluto del determinante de la matriz Jacobiana que vale |b|=0.3. Como consecuencia, el atractor de Henon tendrá área 0.
Para ver cómo se manifiesta la invarianza del atractor le aplicamos sucesivamente las 3 aplicaciones h1, h2 y h3 cuya composición nos daba H. De esta forma obtenemos las siguientes imágenes
Ejercicio. Calcular, usando las imágenes anteriores la órbita del punto situado en el vértice (extremo derecho) del atractor de Henon.
En este caso se obtiene una dinámica caótica en el atractor de Henon. La siguiente gráfica representa 10000 puntos de la órbita de un punto del atractor.
En las siguientes gráficas se muestran ampliaciones de la órbita anterior (ampliando convenientemente el número de puntos), donde se puede ver que localmente el atractor de Henon es un producto de un conjunto de tipo Cantor por un intervalo,
Para terminar esta sección vamos a ver cómo se reconstruye el atractor de Henon, si dada la órbita {(xn, yn) de un punto del atractor, representamos las sucesiones {(xn,xn+k) de k-retardo. En las siguientes gráficas se muestran los casos k=1, k=2 y k=3.
Otra manera de interpretar lo anterior es decir que estamos viendo la relación entre la órbita del punto (x0,y0) y la del punto (xk,yk). Podemos extender esta idea para ver la relación entre las órbitas de 2 puntos cualesquiera (x0,y0) y (x0',y0'). Si aplicamos este proceso a 2 puntos muy cercanos, por ejemplo (1.28,0) y (1.28,0.00000001), obtenemos las siguientes gráficas, en las que se representan, respectivamente, 100, 1000 y 10000 puntos.
Estas gráficas sugieren que no hay ninguna correlación entre ambas órbitas, y manifiestan la sensibilidad a las condiciones iniciales.
En Rk una órbita tiene k números y exponentes de Lyapunov que miden la contracción (separación) en n direcciones ortogonales. Estas direcciones están determinadas por la dinámica. La primera será la dirección en la que la separación entre órbitas cercanas es mayor. La siguiente será la dirección en la que la separación entre órbitas cercanas es mayor entre todas las ortogonales a la primera. Y así sucesivamente...
Sea f de clase infinito y sea {x1,x2,x3,...} una órbita de f. Para cada nÎN, para cada iÎ{1,2,...,k} definimos rik como la longitud de los semiejes del elipsoide (fn)'(xi)(B), con B la bola unidad. El número de Lyapunov i-ésimo de x1 se define como Li(x1)=limn®¥Ön(rin), cuando este límite exista. El i-ésimo exponente de Lyapunov será hi(x1)=ln(Li(x1)).
Con esta definición Li(x1)³L2(x1)³...³Lk(x1) y hi(x1)³h2(x1)³...³hk(x1).
Los números de Lyapunov se pueden calcular directamente utilizando el que si A es una aplicación lineal, la longitud de los semiejes del elipsoide A(B), con B la bola unidad, coincide con los autovalores de la matriz AAT.
Se dice que una órbita {x1,x2,x3,...} es caótica si
Por ejemplo, para la aplicación de Arnold, la matriz jacobiana A existe siempre y es simétrica. Entonces A=AT y los autovalores de An(An)T coinciden con los de An. Estos son las potencias -ésimas de los autovalores de A que eran l1=(3+Ö5)/2>1 y l2=(3-Ö5)/2<1. Por tanto, los números de Lyapunov de la aplicación de Arnold son l1>1 y l2<1. Por tanto, para la aplicación de Arnold todas las órbitas que no son asintóticamente periódicas son caóticas. Por otra parte, los puntos periódicos son aquellos cuyas coordenadas son ambas racionales y todos son silla. Por tanto, las únicas órbitas asintóticamente periódicas son las órbitas periódicas y las contenidas en sus variedades estables. Si consideramos una sección vertical del cuadrado en que está definida la aplicación de Arnold, todas estas órbitas la intersecarán en una cantidad numerable de puntos, dejando una cantidad no numerable sin cubrir que estará cubierta por las órbitas caóticas, de las cuales habrá de haber una cantidad no numerable.
Para la aplicación del panadero, la matriz jacobiana, siempre que existe, tiene autovalores 2 y r. Por tanto, cualquier órbita para la que x no valga nunca 1/2 tiene exponentes de Lyapunov ln2 y ln(r). Por tanto, para la aplicación del panadero todas las órbitas que no son asintóticamente periódicas son caóticas. Por otra parte, las órbitas asintóticamente periódicas son aquellas que en dinámica simbólicas son periódicas hacia la derecha. Por tanto, para la aplicación del panadero también existen órbitas caóticas. Lo mismo ocurre para la herradura de Smale.