La mayoría del trabajo de Julia estaba motivado por un artículo de una página de Sir Arthur Cailey, publicado en 1879 y titulado Newton-Fourier Imaginary Problem. Cuando se calculan las raíces de z3=1 usando el método de Newton se llega a una competencia entre las raíces muy similar a la observada en los conjuntos de Julia.
Sea p:R®R un polinomio y supongamos que p tiene una raíz x cercana a cierto punto x0. Entonces, si reemplazamos el polinomio p(x) por su recta tangente en el punto (x0,p(x0)) y obtenemos su corte con el eje OX, obtenemos un valor x1 que es una primera aproximación de x. Iterando este proceso se obtienen valores cada vez más cercanos a x. El proceso se resume en la siguiente fórmula de recurrencia
xn+1=xn-(p(xn))/(p'(xn)).
En la siguiente gráfica vemos el método de Newton aplicado a f(x)=x3
Sea ahora p:C®C una función polinómica. El método de Newton para calcular las raíces de p consiste en iterar la función f(z)=z-p(z)/p'(z). Este método converge o no a una u otra raíz de p según el punto inicial que escojamos. Para estudiar el carácter de las raíces de p (que son los puntos fijos de f) estudiamos la derivada f'(x)=p(x)p''(x)/p'(x)2. Si r es una raíz simple de p se tiene f'(x)=0 y por tanto r es un punto superatractivo de f. Si r tuviera multiplicidad n (esto es, p(x)=(x-r)nq(x) con q(r)¹0) se tiene que r es un punto superatractivo de g(z)=z-(n p(z)/p'(z)). Por otra parte ¥ es un punto fijo repulsivo.
Vamos a ver cuál es la cuenca de atracción de cada uno de los puntos fijos. De forma análoga a lo que ocurría para las funciones cuadráticas, se define el conjunto de Julia como la adherencia de los puntos periódicos repulsivos. En este caso las propiedades del conjunto de Julia son distintas, sin embargo sigue siendo cierto que el conjunto de Julia es la frontera común de las regiones de atracción de todos los puntos fijos o ciclos atractivos.
Consideremos la aplicación de C en C dada por f(z)=z2-1. f tiene dos puntos raices que se pueden calcular por el método de aproximación de Newton. Como hay dos raíces de f(z)=0, se obtendrá una u otra raíz según el punto con el que comencemos a iterar. Es fácil ver que si empezamos en un punto con parte real positiva el método de Newton converja a la raíz 1, y si empezamos en un punto con parte real negativa el método de Newton converge a la raíz -1.
Si representamos los puntos en diferente color según la "velocidad" de convergencia se obtiene una representación global del método de Newton para este caso.
La frontera de las regiones de atracción, que en este caso es una recta, es el conjunto de Julia asociado.
En general, la aplicación de C en C dada por p(z)=z2-c tiene dos puntos raices, Öc y -Öc, que que se pueden calcular por el método de Newton. En este caso el conjunto de Julia asociado es la recta perpendicular, en el punto medio, al segmento que une Öc y -Öc, y por tanto las regiones de atracción de Öc y -Öc serán los 2 semiplanos definidos por esa recta.
Si ahora consideramos la aplicación de C en C dada por
p(z)=z3-1, entonces f tiene tres raices que se
pueden calcular por el método de aproximación de Newton.
En este caso las tres raíces son 1,
-1/2+Ö3 i/2 y
-1/2-Ö3 i/2, pero sus
regiones de atracción para el método de Newton son
completamente distintas.
El hecho de que J(f) haya de
ser la frontera común a las 3 regiones de atracción de los 3
puntos fijos de f hace que la forma de éstas haya de ser
extremadamente compleja.
En la siguiente figura se representan en diferentes colores las regiones de atracción de cada una de las 3 raíces.
Igual que hacíamos para los conjuntos de Julia, dentro de cada una de las regiones de atracción podemos representar los puntos con diferentes colores según el número de iteraciones necesarias para alcanzar un determinado entorno de las raíces.
