Todos los resultados presentados en estas páginas se encuentran desarrollados y ampliados en Sistemas Dinámicos Discretos y Caos. Teoría, Ejemplos y Algoritmos, de A.Giraldo y M.A.Sastre, editado por la Fundación General de la Universidad Politécnica de Madrid (2002). En ese texto se detallan además todos los algoritmos de Maple desarrollados y utilizados para generar casi todas las gráficas de estas páginas.
Otro texto relacionado de los mismos autores, que también incluye algoritmos de Maple para generar conjuntos fractales, es Geometría Fractal. Aplicaciones y Algoritmos, editado también por la Fundación General de la Universidad Politécnica de Madrid (2000).
Sea D un espacio métrico (en estas notas, D será siempre un subconjunto de Rn) y sea f una aplicación, en general continua, de D en si mismo. En la teoría de sistemas dinámicos se estudia el comportamiento de las iteraciones de f según los diferentes valores del punto inicial. La sucesión (fn(x)) de las iteraciones de f en un punto dado es la órbita de ese punto. Por tanto, en la teoría de sistemas dinámicos se estudia como son las órbitas de los diferentes puntos.
En general nos interesará saber si la órbita de un punto converge a cierto valor (que será necesariamente un punto fijo), si converge a un ciclo periódico o si se comporta de forma aparentemente aleatoria.
También nos interesará saber cuando un punto fijo (o un ciclo periódico) atrae o repele las órbitas de puntos cercanos, y en caso de ser así, cuales son los puntos cuyas órbitas atrae o repele.
Supongamos que queremos estudiar la evolución de la población de una determinada especie. Para ello denotamos por xk al número de individuos de la población en el instante k. Para estudiar de que manera evoluciona la población, se establece una relación entre ésta en instantes consecutivos. Una primera manera de abordar el problema se debe a Maltus (s.XIX), y es suponer que el crecimiento de la población es proporcional a la población existente. Esto es,
xk+1=xk+d xk = (1+d) xk =c xk ,
con c>0. Entonces xk=ckx0. Por tanto la población crece indefinidamente, se mantiene constante o se extingue según sea c mayor, igual o menor que uno.
A mediados del siglo XIX, el matemático belga Pierre Verhulst propuso la siguiente fórmula cuadrática, en la que se supone que el crecimiento de la población es proporcional tanto a la población existente, como al "espacio" disponible. Esto es,
xk+1=xk+c xk(1-xk)=(1+c) xk -c xk2
donde se supone que la población máxima admisible es 1 (normalizando). Así, cuando la población pasa de 1 el crecimiento se hace negativo.
Una modificación de ésta fue propuesta por el biólogo por Robert May en 1976 para estudiar el crecimiento de una población de insectos en un ecosistema cerrado. En esta caso la evolución de la población sigue la regla
xk+1=c(1-xk) xk.
Sea f:IÌR®R. Una manera de estudiar la dinámica es el análisis gráfico de las órbitas. Consiste en lo siguiente:
La órbita de p está generada por las proyecciones sobre el eje OX de los puntos obtenidos.
Esto se puede realizar simultáneamente con varios puntos iniciales para generar las órbitas de varios puntos.
Sea L:IÌR®R una aplicación lineal, esto es, L(x)=ax con a real.
Supongamos que a<1. Una primera forma de investigar la dinámica generada por esta aplicación consistiría en tomar un punto, por ejemplo 1, y calcular su órbita
1,a,a2,a3,a4,a5,...
Se ve que la órbita converge al punto 0. Además. si tomamos cualquier otro punto inicial se obtiene el mismo resultado, pues la órbita de un punto genérico p es
p,a·p,a2·p,a3·p,a4·p,a5·p,...
Si aplicamos ahora el método de análisis gráfico, obtenemos los siguientes resultados.
Sea f:IÌR®I. Se dice que xÎI es un punto fijo de f si f(x)=x. Se dice que x es eventualmente fijo si fn+1(x)=fn(x) para cierto nÎN .
Si la órbita de un punto converge a un punto z, entonces z es un punto fijo de f (esto es debido a la continuidad de f).
Se dice que un punto fijo x es atractivo si existe un intervalo abierto U alrededor de x tal que limn®¥fn(x)=x para todo xÎUÇI.
Al conjunto {xÎI | limn®¥fn(x)=x} se le llama cuenca de atracción de x.
Ejemplo. 0 es un punto fijo atractivo de
Teorema. Si fÎC1(I) y |f'(x)|<1 entonces x es un punto fijo atractivo. En el caso de f'(x)=0 se dice que x es superatractivo.
El valor |f'(x)| proporciona además una estimación de la velocidad de convergencia de fn(x) a x para puntos cercanos a x.
Se dice que un punto fijo x es repulsivo si existe un intervalo abierto U alrededor de x tal que para todo xÎUÇI-{x} existe kÎN tal que fk(x)ÏU.
Ejemplo. El 0 es un punto fijo repulsivo de
Teorema. Si fÎC1(I) y |f'(x)|>1 entonces x es un punto fijo repulsivo.
Se dice que un punto fijo x de f es indiferente si fÎC1(I) y |f'(x)|=1.
Teorema. Si fÎC1(I) y x es un punto fijo indiferente tal que |f'| presenta un máximo local en x, entonces x es un punto fijo atractivo.
Ejemplo. El 0 es un punto fijo indiferente atractivo de
Teorema. Si fÎC1(I) y x es un punto fijo indiferente tal que |f'| presenta un mínimo local estricto en x, entonces x es un punto fijo repulsivo.
Ejemplo. El 0 es un punto fijo indiferente repulsivo de
¿Que ocurre si |f'(x)|<1 si x<x y |f'(x)|>1 si x>x?
Los puntos fijos indiferentes son excepcionales, aunque ocurren frecuentemente en familias de aplicaciones. Además, al pasar por la aplicación en que ocurren suele producirse una bifurcación (esto es, cambia el comportamiento de los puntos fijos de la familia).
Esto se puede observar en los siguientes ejemplos, en los que vemos, respectivamente una bifurcación transcrítica, una bifurcación tangente y una bifurcación horca.
Se dice que x es un punto periódico de orden k si existe kÎN tal que fk(x)=x. Se llama orden de x al menor número natural k que cumpla la condición anterior y se dice entonces que x es un punto periódico de orden k. En este caso todos los puntos del ciclo C={x, f(x),...,f{k-1}(x)} son periódicos de orden k. Se dice que x es eventualmente periódico si existe kÎN tal que fk(x) es periódico.
x es un punto periódico de orden kÎN si y solo si es un punto fijo de fk (y no es punto fijo de fi para i<k).
Se dice que x es un punto periódico atractivo (repulsivo) de f si y solo si es punto fijo atractivo (repulsivo) de fk. En este caso todos los puntos del ciclo C={x,f(x),...,f{k-1}(x)} son también puntos fijos atractivos (repulsivos) de fk. La cuenca de atracción del ciclo coincide con el conjunto
Ejemplo. El ciclo {-1,1} es un ciclo periódico atractivo de f(x)=-x(1/3)
Ejemplo. El ciclo {-1,1} es un ciclo periódico repulsivo de f(x)=-x3
Teorema. Si fÎC1(I) y |(fk)'(x)|<1 entonces x es un punto periódico atractivo.
Teorema del punto fijo. Sea f:[a,b]®R continua tal que f([a,b])É[a,b]. Entonces f tiene un punto fijo.
Teorema de Li y Yorke. Sea f:R®R continua y supongamos que f tiene un punto periódico de periodo 3. Entonces f tiene puntos periódicos de todos los periodos.
Teorema de Sarkovskii. Sea f:R®R continua y supongamos que f tiene un punto periódico de periodo r. Entonces, para todo k>r según el orden
3>5>7>.....>2*3>2*5>2*7>.....>4*3>4*5>4*7>.....>8>4>2>1,
f tiene algún punto periódico de periodo k.
El teorema anterior es óptimo en el sentido de que si n>k según la ordenación anterior, existen funciones con un k-ciclo que no tienen ningún n-ciclo.
Por ejemplo, la función de la gráfica siguiente tiene un 5-periodo formado por los puntos {0,1,2,3,4}. Por otra parte, analizando la imagen de los 4 intervalos [0,1], [1,2], [2,3] y [3,4] por f3 se puede ver que de existir un 3-periodo habría de estar contenido en [2,3], pero f3 es decreciente en este intervalo y solo podría haber un único punto 3-peri\'{o}dico (pero son necesarios 3).
Dado un conjunto cerrado invariante A de I, se dice que A es un atractor si existe un entorno abierto U de A tal que d(fn(x),A)®0 para todo xÎUÇX. Al conjunto {xÎX | lim{n®¥d(fn(x),A)=0} se le llama cuenca de atracción de A.
Ejemplo. Los sistemas dinámicos dados por las siguientes gráficas
tienen por atractor un conjunto de Cantor.
Supongamos que tenemos un sistema dinámico en un espacio métrico D definido por una aplicación f:D®D. Sea E homeomorfo a D mediante un homeomorfismo h:D®E. Entonces la dinámica definida por f en D se traslada a E por la aplicación g:D®E dada por g(y)=hfh-1(y).
La relación g=hfh-1 implica que gn=hfnh-1, y por tanto las órbitas {gn(y)} de g son precisamente las imágenes mediante h de las órbitas de f de la forma {fn(h-1(y))}. Recíprocamente, fn=h-1gnh y las órbitas {fn(x)} de f son las imágenes mediante h-1 órbitas de g de la forma {gn(h(x))}. Por tanto, f y g inducen dinámicas equivalentes.
En general, se dice que dos aplicaciones f:D®D y g:E®E son topológicamente conjugadas si existe un homeomorfismo h:D®E tal que g=hfh-1.
Según acabamos de ver, dos aplicaciones topológicamente conjugadas inducen dinámicas equivalentes.