En el tema anterior hemos determinado completamente las posibles dinámicas para aplicaciones lineales. El objetivo de este tema es intentar hacer lo mismo para las aplicaciones cuadráticas.
La familia cuadrática es la formada por las aplicaciones fp de la forma fp(x)=x2+p, con p real.
Todas las transformaciones cuadráticas (esto es, de la forma f(z)=az2+bz+g, a¹0) son conjugadas a una de la forma fp(x)=x2+p, mediante una transformación lineal h de la forma h(z)=az+b, con a¹0. En efecto, si h(z)=az+b (a¹0), entonces h-1fph(z)=(1/a)(a2 z2+2abz+b2+p-b), y escogiendo adecuadamente a, b y p podemos conseguir que h-1fph=f. Además, como en este caso las transformaciones h son semejanzas, los conjuntos de puntos periódicos de periodo n y/o los posibles atractores serán geométricamente semejantes para f y fp.
Un estudio detallado de la familia cuadrática se puede encontrar en [7].
La familia logística es la formada por las aplicaciones fc:[0,1]®[0,1] de la forma fc(x)=cx(1-x), con c real.
Sabemos que todas las transformaciones cuadráticas (esto es, de la forma f(z)=az2+bz+g) son conjugadas a una de la forma gp(x)=x2+p.
Por otra parte, toda curva gp con p£1/4 es conjugada con fc:[0,1]®[0,1] de la forma fc(x)=cx(1-x), para c=1+Ö(1-4p)³1. Por otra parte, si p>1/4, gp no tiene puntos fijos y todas las órbitas divergen a +¥. Por tanto, si exceptuamos este caso (el de que todas las órbitas divergen a +¥), la familia logística recoge todos los posibles comportamientos dinámicos de los sistemas dinámicos definidos mediante aplicaciones cuadráticas.
En particular, todas las aplicaciones de la familia cuadrática con c<1 son conjugadas con una con c³1. En concreto, cada fc con c<1 (excepto para c=0) es conjugada con f2-c con 2-c³1. Por tanto, basta estudiar la familia logística para c³1. Sin embargo, para ver cómo es la transición en c=1 y para incluir el caso c=0, que no es cuadrática, la estudiaremos para c³0.
Para c=0 todos los puntos se van al 0 que es fijo. Para valores de c en (0,1), el 0 es un punto fijo atractivo, y su cuenca de atracción es el intervalo (-(c-1)/c,(c-1)/c). El punto -(c-1)/c es otro punto fijo, pero éste es repulsivo. El punto (c-1)/c se va a -(c-1)/c. La órbita del resto de los puntos diverge a -¥. Por ejemplo para c=0.75
Observamos también que el intervalo [0,1] es invariante. Esto va a ocurrir siempre que 0£c£4. Para estos valores de c nos restringiremos a este intervalo.
El comportamiento de f se puede ver también calculando las iteraciones de la gráfica de f
Para c=1, el punto 0 se ha vuelto indiferente, aunque sigue atrayendo las órbitas de todos los puntos de (0,1) El punto 1 sigue siendo eventualmente fijo. La órbita de todos los puntos fuera del intervalo [0,1] diverge a -¥. Esto último va a ocurrir para todos los valores de c³1.
Este comportamiento se puede ver también calculando las iteraciones de la gráfica de f
A partir de c=1, el punto fijo 0 ha dejado de ser atractivo para convertirse en repulsivo, y ha aparecido un nuevo punto atractivo. Por ejemplo, para c=1.5 la órbita de cualquier punto de (0,1) tiende al punto 1/3
Esto se ve también calculando las iteraciones de la gráfica de f
Para c=2 la órbita de cualquier punto de (0,1) tiende al punto 0.5 que es ahora superatractivo
Las iteraciones de la gráfica de f son ahora
Para c=2.5 la órbita de cualquier punto de (0,1) tiende al punto 0.6 que es un punto atractivo.
Las iteraciones de la gráfica de f son ahora
Este comportamiento se mantiene hasta c=3
En este momento ocurre una bifurcación. El punto fijo 0.666... es ahora indiferente (la derivada es igual a 1) aunque se puede ver que es todavía atractivo. Su cuenca de atracción es todo (0,1). Esto se puede ver también viendo como se comportan las iteraciones de la gráfica de f
A partir de este momento los puntos fijos se transforman en repulsivos y aparecen dos puntos periódicos de periodo 2 que son además puntos periódicos atractivos con región de atracción todo [0,1] (exceptuando los puntos eventualmente fijos). Este comportamiento se observa, por ejemplo, en el caso c=3.25,
El 2-ciclo atractivo se puede ver en la siguiente gráfica que representa un estado avanzado de la órbita de un punto genérico
Las iteraciones de la gráfica de f son ahora
Para comprender un poco mejor por qué ocurre una bifurcación en c=3, podemos ver como cambia fc2 al pasar por c=3.
Se observa que alrededor del punto fijo la gráfica de f32 se asemeja a dos curvas logísticas renormalizadas (una de ellas invertidas) en el caso c=1. Para valores inmediatamente posteriores a c=3 estas curvas logísticas renormalizadas evolucionan de forma análoga a la curva logística inicial para c>1.
En concreto, la aparición del nuevo punto atractivo para c>1 se corresponde, vía una renormalización, con la aparición de un 2-periodo atractivo para c>3. Por tanto es de esperar que este 2-ciclo atractivo experimente una evolución similar a la experimentada por el punto fijo de fc.
Un poco antes de llegar a c=3.5 los puntos anteriores se vuelven indiferentes y se duplican para dar una órbita periódica de periodo 4. En el caso c=3.5 se tiene
El 4-ciclo atractivo se puede ver en la siguiente gráfica que representa un estado avanzado de la órbita de un punto genérico
Las iteraciones de la gráfica de f son ahora más complicadas
Este fenómeno de duplicación del periodo va repitiéndose sucesivamente.
En el caso c=3.56
El ciclo atractivo se puede ver en la siguiente gráfica que representa un estado avanzado de la órbita de un punto genérico
Las iteraciones de la gráfica de f son ahora un poco más complicadas
Este fenómeno de duplicación del periodo va repitiéndose hasta llegar a cierto valor límite que vamos a estudiar ahora.
Puedes ver una visión global de la duplicación del periodo pinchando aquí y aquí.
Si representamos en unos ejes los puntos a los que converge la órbita del punto (1/2) por la aplicación logística, para los diferentes valores del parámetro c, se obtiene el diagrama de Feigenbaum que recoge en cierto sentido el comportamiento de toda la familia logística. El utilizar siempre el punto 1/2 para detectar los atractores se basa en el hecho de que cuando existe un ciclo atractivo, el punto 1/2 siempre está en la cuenca de atracción del ciclo.
En las siguientes figuras se ven algunas ampliaciones del diagrama de Feigenbaum
Si denotamos por m(1)=3, m(2) =1+Ö6, m(3), ..., los puntos en que se produce duplicación del periodo en la curva logística se tiene que si definimos d(k)=m(k+1)-m(k) y D(k)=d(k)/d(k+1) para todo k, se tiene que
Por otra parte, en este caso se tiene que (D(k)) es aproximadamente geométrica de razón d, y por tanto m=lim m(k) es aproximadamente igual a m(1)+d(1)/(d-1)=3.57199221.... Al punto m le llama punto de Feigenbaum, o punto de entrada al caos. Su valor "exacto" es m=3.5699456....
La constante de Feigenbaum es universal en el sentido de que si reemplazamos f por otra función unimodal (esto es, con un único máximo) se repite el fenómeno de duplicación de periodos. Estas ocurrirán en puntos diferentes a los de la aplicación logística y por tanto el punto m de entrada al caos será distinto. Sin embargo, el valor de d será el mismo que para la aplicación logística.
Hemos mencionado anteriormente que m1 se caracteriza por el hecho de que fm13(1/2)=pm1 (el punto fijo de fm1). Por tanto si representamos, en unos ejes, como función de c, los valores de fck (1/2), para k=1,2,3,4, obtendremos m1 como el punto de corte de las gráficas fc3 (1/2) y fc4(1/2).
Si ampliamos y representamos hasta k=8, obtenemos m2como el punto de corte de las gráficas fc5 (1/2) y fc7(1/2) o de fc6(1/2) y fc8(1/2). Por tanto, m2 se caracterizará por el hecho de que el par formado por los puntos fm15(1/2) y fm16(1/2) coincidirá con el 2-ciclo de fm2.
Además, vemos como la unión de las gráficas anteriores recuerda al Diagrama de Feigenbaum.
Para ver mejor la relación representamos desde k=9 hasta k=16
Si observamos el diagrama de Feigenbaum que acabamos de construir se observa que con posterioridad al punto de Feigenbaum ocurren diferentes tipos de comportamiento.
Consideremos el punto m1=3.6785 que corresponde con el punto en que confluyen las dos ramas. Equivalentemente, si recorremos los parámetros en sentido decreciente, m1 puede considerarse como un punto en el que una franja se divide en 2. En primer lugar, observamos que m1 se caracteriza porque fm13 (1/2) es igual al punto fijo de fm1.
Para ver lo que tiene de particular el punto m1 consideramos las gráfica de f4 y de fm12
Se observa que en m1 la gráfica de fm12 contiene dos cuasiparábolas (en realidad son curvas de cuarto grado) cuya imagen rellena el cuadrado correspondiente y que son por tanto equivalentes a la gráfica de f4. Por otra parte esos cuadrados son invariantes por fm12 a la vez que atraen las órbitas situadas fuera (excepto las del 0 y el 1). Según disminuye el parámetro, la altura de las cuasiparábolas disminuye y las imágenes de los intervalos ya no son los intervalos completos. El comportamiento de fc para valores un poco menores que m1 va a ser un reflejo, con alternancia entre esos dos intervalos, del comportamiento de fc para valores un poco menores que 4.
Razonando por renormalización, como hicimos antes, se puede ver que existe otro punto m2 < m1 en el que cada una de esas dos franjas se divide a su vez. El comportamiento de fc para valores en el intervalo (m2,m1) será un reflejo, con alternancia entre cuatro intervalos, del comportamiento de fc para valores en (m1,4). De hecho existe una sucesión m1>m2>m3>...¯m de puntos en los que se produce división de franjas tales que el comportamiento de fc para valores en el intervalo (mi+1,mi) va a ser un reflejo, con alternancia entre 2i intervalos, del comportamiento de fc para valores en (m1,4). Además el valor del límite cuando n tiende a infinito de las razones (mk+1-mk)/(mk+2-mk+1) de las longitudes de los intervalos sucesivos es nuevamente la constante de Feigenbaum.
A la derecha de m1 se pueden ver franjas, progresivamente más finas, correspondientes a 5-ciclos, 7-ciclos, ... , atractivos. Por otra parte, estas franjas se repetirán, correspondiendo a 2·3-ciclos, 2·5-ciclos, 2·7-ciclos, ... , en el intervalo (m2,m1). Análogamente, en (m3,m2) aparecerán franjas correspondientes a ciclos de periodo de la forma 4 por números impares. Así sucesivamente. Éstos, junto con los ciclos atractivos de periodo 2k que aparecían en la franja (0,m) nos dan ciclos atractivos de todos los periodos posibles.
Finalmente, para entender completamente la dinámica de la curva logística en [0,4], únicamente nos faltaría por estudiar lo que ocurre a la derecha de m1.
En esta región observamos que se alternan regiones caóticas con franjas que corresponden a periodos atractivos. Existen un número infinito de tales franjas. La más prominente de éstas corresponde a un 3-ciclo atractivo y sucede para valores del parámetro entre c=1+Ö8»3.828 y c»3.857. Observamos que en esa franja vuelve a ocurrir el fenómeno de duplicación del periodo, visto para cÎ(0,m¥), aunque ahora todo sucede con relación a fc3. En un momento dado, ese 3-ciclo atractivo se convierte en repulsivo a la vez que aparece un 6-ciclo atractivo, y así sucesivamente, siguiendo intervalos cuya longitud está regida por la constante de Feigenbaum, hasta llegar a un punto, equivalente a m¥, situado cerca de c=3.8415. Esto ocurre simultáneamente en las tres ramas.
Para ver con un poco más de detalle como es la evolución de las órbitas en esta franja vamos a considerar los valores del parámetro c=3.828, c=3.82842 y c=3.839 situados, respectivamente, justo antes de la franja, en el extremo izquierdo y en el interior, aunque antes de la duplicación del periodo.
Veamos la serie temporal de 1/2 en estos 3 casos:
Que corresponden a las órbitas
Para estos valores fc3 tiene la siguiente forma
Para el caso c=3.82842 (el central) se tiene un 3-ciclo indiferente. Éste es atractivo por un lado y repulsivo por el otro. Esto da lugar a puntos homoclínicos. Éstos son puntos que son inicialmente repelidos, pero cuya órbita vuelve a la parte atraída por el ciclo, o incluso cae en el mismo ciclo. Existe un número infinito de puntos homoclínicos, siendo incluso densos en un intervalo contenido en la región de repulsión del ciclo.
En el caso de la izquierda (c=3.828), el ciclo ha desaparecido. Sin embargo, la proximidad con la diagonal produce fenómenos de intermitencia. Éstos se manifiestan cuando la órbita de un punto cae en uno de esos estrangulamientos. En ese caso, la órbita permanece un tiempo considerable en el mismo dando lugar a una órbita que aparentemente es converge a un 3-periodo. Sin embargo, mientras permanece en el estrangulamiento es monótona y acaba por salir del mismo, siendo repelida. Sin embargo, necesariamente habrá de pasar cerca de alguno de los puntos homoclínicos que están situados en la parte inestable. Entonces, en algún instante futuro volverá al estrangulamiento, repitiéndose el fenómeno anterior. El tiempo que permanece un punto en la fase "periódica" aumentará según el parámetro se acerca al valor c=3.82842.
Para el valor c=3.839 del parámetro existe un 3-ciclo atractivo formado por los puntos a1=0.14988, a2=0.489172 y a3=0.959299 (se tiene (f3)'(ai)=-0.78). La existencia de un 3-ciclo implica, por el Teorema de Sarkovskii que veremos más adelante, la existencia de ciclos de todos los periodos. Se puede demostrar que todos han de ser repulsivos. Vamos a ver que se distribuyen en un conjunto de tipo Cantor.
Existe una segunda órbita 3-periódica formada por los puntos b1=0.160040, b2=0.539247 y b3=0.953837. Sean A1=[b1*,b1], A2=[b2*,b2] y A3=[b3,b3*] donde bi* es la otra preimagen de bi que junto con este determina la cuenca de atracción de ai. El comportamiento en el interior de los intervalos Ai es totalmente predecible. Se puede ver que fc envía A1 en A2, A2 en A3 y A3 en A1, a la vez que las órbitas convergen a ai. Por tanto todas las órbitas periódicas han de estar contenidas en el complementario de estos 3 intervalos en [0,1]. Este complementario está formado por 3 intervalos I0, I1, I2 e I3.
Es más se puede comprobar que f(I3)ÌI0, fk(I0)ÌI1 y f(I1ÈI2)ÌI1ÈI2. Por tanto, no pueden existir puntos periódicos en I0 e I3 (salvo sus extremos) y los restantes puntos periódicos estarán en I1 ÈI2.
Más aún, todos los puntos periódicos restantes estarán en el conjunto de puntos cuya órbita está totalmente contenida en I1ÈI2. Se puede ver que éste es un conjunto de Cantor.
Por supuesto, estos comportamientos cerca de c=3.828 son solo un ejemplo. Comportamientos similares pueden encontrarse en otras ventanas del diagrama de Feigenbaum.
Finalmente en el caso c=4 tenemos
la evolución de las gráficas de las iteraciones de f es
Si representamos juntas las primeras 12 iteraciones se obtiene
Se observa que hay puntos periódicos repulsivos de todos los periodos posibles y que además éstos son densos, esto es, sea cual sea el subintervalo que cojamos existe siempre un punto periódico en ese intervalo.
Por otra parte, a pesar de esta componente de regularidad, la imagen de cualquier subintervalo, por pequeño que sea, acaba siendo todo [0,1]. Esto puede observarse también en la siguiente gráfica
Finalmente, el sistema es sensible a las condiciones iniciales. Por ejemplo, dos puntos muy próximos como pueden ser p=0.75 y q=0.75000001 tienen series temporales que comienzan juntas pero acaban separándose completamente
Con este ejemplo se introduce la noción de caos, que se define formalmente y se estudia más en profundidad en el siguiente tema introduciendo ejemplos mas geométricos, primero en el intervalo unidad y posteriormente en conjuntos del plano.
En este caso se observa que ciertos puntos de [0,1] van a abandonar [0,1] después de una iteración, y su órbita se va a -¥.
Al igual que ocurría en el caso c=4, existen puntos periódicos de todos los periodos posibles y son todos repulsivos. Además, se puede ver que son densos en L, que la imagen de cualquiera de los subintervalos del nivel i es, para la iteración i-ésima, todo L y que el sistema restringido a L es sensible a las condiciones iniciales.
