Dada f:C®C y dado z0ÎC, la fórmula recursiva zn+1=f(zn) determina una sucesión de puntos. Esta sucesión es la órbita positiva O+(z0) de z0. La definición de órbita negativa aparenta presentar problemas, puesto que f no tiene por qué ser inyectiva. Sin embargo, tomando todas las preimágenes se define la órbita negativa de z0 como O-(z0)={z0}È{zÎC|$kÎN con fk(z)=(z0)}. Si zn=z0 para algún nÎN se dice que z0 es un punto periódico, y la órbita O+(z0) es un periodo o ciclo. El periodo de la órbita es el menor n con la propiedad anterior. En el caso particular de n=1, z0 es un punto fijo. Evidentemente, un punto es n-periódico para f si y solo si es punto fijo de fn.
Para caracterizar la estabilidad de un punto periódico de periodo n se utiliza la derivada l=(fn)'(z0). Utilizando la regla de la cadena se ve que l es el mismo para todos los puntos del ciclo. Se tiene que z0 es:
Por último, para cada punto fijo atractivo, nos interesará conocer el conjunto de puntos que son atraidos por él. Este conjunto es su cuenca de atracción A(z0)={z|limn®¥fcn(z)=z0}.
Consideremos la transformación del plano complejo C en sí mismo dada por f0(z)=z2. Geométricamente, f0 equivale a hacer el cuadrado del módulo y a duplicar el argumento. Las iteraciones de un punto inicial z0 dependen, por tanto, del módulo de éste. Si |z0|<1 se tiene que f0n(z0)®0, que es superatractivo por ser f'0(0)=0. Si |z0|>1 entonces |f0n(z0)|®¥. Si |z0|=1 las iteraciones de f0 se mantienen en la circunferencia de radio 1. Si representamos los puntos que tienden a 0 en negro y los puntos que se van a infinito en blanco se obtiene una representación global de las iteraciones de f0.
f0 tiene dos puntos fijos, 0 y 1, pero mientras que 0 es atractivo, 1 es repulsivo (|f'0(1)|=|2|>1).
Todos los puntos periódicos (que son soluciones de f0k(z)=z y por tanto existen infinitos) están situados en la circunferencia unidad y, como |f'0(z)|=|2z|=2>1 para todos ellos, son repulsivos. Como en la circunferencia unidad la acción de f0 se reduce a una duplicación del ángulo, los puntos periódicos corresponderán a aquellos complejos cuyo argumento es una fracción racional, con denominador par en su expresión irreducible, de 2p. Los puntos periódicos son por tanto densos en la circunferencia. Por otra parte, si tomamos dos puntos de la circunferencia unidad arbitrariamente cercanos, la distancia angular entre sus imágenes se duplica a cada iteración, hasta llegar a valer entre p y 2p. Por tanto, el sistema restringido a la circunferencia unidad es sensible a las condiciones iniciales. Finalmente, la imagen de cualquier intervalo de la circunferencia, por pequeño que sea, acaba siendo toda la circunferencia. Todo lo anterior implica que el sistema dinámico restringido a la circunferencia unidad (que es invariante) es un sistema dinámico caótico.
Consideremos la familia de transformaciones del plano complejo C en sí mismo dada por fc(z)=z2+c donde c es un número complejo.
fc verifica las siguientes propiedades:
Demostración de 6: Sea e>0 tal que |z|>2+e. Entonces |fc(z)|=|z2 +c|³|z|2-|c|³|z|2-|z|=(|z|-1)|z|>(1+e)|z|. En general, |fck(z)|>(1+e)k|z| y por tanto fck(z)®¥.
Cualquier transformación cuadrática (esto es, de la forma f(z)=az2+bz+g) es conjugada de una de las transformaciones consideradas en este tema, por una transformación h de la forma h(z)=az+b con a¹0. En efecto, si h(z)=az+b (a¹0), entonces h-1fch(z)=(1/a)(a2z2+2abz+b2+c-b), y escogiendo adecuadamente a y b podemos conseguir que h-1fch=f. Esto implica además que fn=h-1fcnh, y por tanto las órbitas {fn(z)} de f son precisamente las imágenes mediante h-1 órbitas de fc de la forma {fcn(h(z))}. Así, h transforma la dinámica de f en la de fc, y por tanto la dinámica de cualquier aplicación cuadrática es (salvo semejanza) del tipo de las estudiadas en este tema.
Consideremos la transformación del plano complejo C en sí mismo dada por fc(z)=z2+c donde c es un número complejo. Es claro que si z es suficientemente grande, la órbita de z diverge a ¥. La frontera de la región de atracción de ¥ es el conjunto de Julia J(fc) de fc. Se puede demostrar que J(fc) es la frontera común de todas las regiones de atracción de todos los puntos fijos o ciclos atractivos. También coincide con la adherencia del conjunto de los puntos periódicos repulsivos.
El complementario del conjunto de Julia se llama conjunto de Fatou F(fc) o conjunto estable.
Por la simetría de la aplicación fc se tiene que los conjuntos de Julia y Fatou son simétricos respecto del origen.
El nombre de conjunto de Julia viene de Gastón Julia (1893--1978), quien desarrolló gran parte de esta teoría cuando se recuperaba de heridas recibidas en la I Guerra Mundial. Simultáneamente, Pierre Fatou (1878--1929) obtuvo numerosos resultados en el área de la iteración compleja. Estos resultados permanecieron casi olvidados hasta 1980, año en que vieron la luz las primeras imágenes del conjunto de Mandelbrot.
Para c=0 se tiene que J(f0) es la circunferencia unidad.
Si c=0.1+0.1i parecería que el comportamiento de fc debería cambiar solo ligeramente. Esto es cierto solo parcialmente. El conjunto de Julia (la frontera del conjunto de puntos que se van a infinito) sigue siendo una curva cerrada simple, aunque ahora es una curva fractal.
Si c=-0.5+0.5i el comportamiento de fc cambia un poco más, aunque el conjunto de Julia sigue siendo una curva cerrada simple fractal.
fc tiene 2 puntos fijos simétricos respecto de 1/2. Uno de ellos, z0»-0.40867701+0.27512526i, situado aproximadamente en el centro del "triángulo" izquierdo, es atractivo, mientras que el otro, z1»1.40867701-0.27512526i, situado en el extremo derecho de J(fc), es repulsivo. Por otra parte, fcn(0)®z0 y fcn(z)® z0 si |z| es pequeño, mientras que (como ocurre en el caso general) fcn(z)®¥ si |z| es suficientemente grande.
Así, aunque la estructura fractal del conjunto de Julia es diferente en los 2 casos anteriores, en ambos casos el conjunto de Julia es una curva cerrada simple, y la dinámica es semejante en ambos casos. Esto ocurrirá siempre que fc tenga un punto fijo atractivo (los 2 puntos fijos no pueden ser atractivos; existe un resultado general que afirma que si fc tiene un ciclo atractivo, entonces el único punto crítico (el origen) ha de estar en la región de atracción de dicho ciclo, y por tanto, fc puede tener a lo sumo un ciclo atractivo).
El conjunto de valores de c para los que fc tiene un punto fijo atractivo es el de los c para los que existe z tal que z2+c=z y |f'c(z)|=|2z|<1. El conjunto que se obtiene es el interior de la cardioide de ecuación z=(1/2)eiq(1-(1/2)eiq), 0£q£2p.
Los conjuntos de Julia asociados a estos parámetros son curvas cerradas simples.
Para el resto de los valores de c, fc no tiene ningún punto fijo atractivo. Vamos a ver si existen valores de c para los que fc tiene un dos-ciclo atractivo. Estos serán puntos tales que (z2 +c)2+c-z=0. Como los puntos fijos, que son solución de z2+c-z=0 serán también solución de la primera, el polinomio z2+c-z será un divisor de (z2+c)2+c-z. De hecho, se tiene (z2+c)2+c-z=(z2+c+z+1)(z2+c-z). Así, los puntos 2-periódicos son las soluciones de z2+c+z+1=0. Como la derivada en ellos será 4(1+c), se tiene que fc tiene un dos-ciclo atractivo si y solo si |c+1|<1/4.
Además, los conjuntos de Julia asociados a estos parámetros ya no son curvas simples. Son uniones de una cantidad numerable de curvas cerradas simples disjuntas 3 a 3. Estas curvas están formadas por las curvas simples que rodean a los dos puntos del 2-ciclo atractivo y por todas sus preimágenes.
Por ejemplo, si tomamos c=-1.1+0.1i se obtiene
De todas las curvas simples cerradas que componen J(fc), existen 2, C1 y C2, que rodean a los 2 puntos del 2-ciclo {w1,w2}. C1 es la curva simple central, y C2 es la situada a su izquierda. C1 y C2 se tocan en un punto fijo de fc, que en este caso es el punto -0.6626905520+0.04300370373i (el otro punto fijo de fc es el punto 1.662690552-0.04300370373i que corresponde al extremo derecho del conjunto de Julia). La función inversa fc es 2-valuada en C1. Una de las imágenes inversas de C1 será C2. La otra imagen inversa será una curva simple que encierre a la otra preimagen de w1 (situada simétrica de w2 respecto del origen). Si continuamos tomando imágenes inversas de esta forma encontramos que J(fc) está formado por infinitas curvas que rodean todas las preimágenes de w1 y cuyos puntos de contacto son todas las preimágenes de uno de los puntos fijos de fc.
Así, si z está en el interior de J(fc), fcn(z) va moviéndose por las diferentes componentes del interior de J(fc), hasta llegar a la componente rodeada por C1. A partir de este momento alterna entre la componente rodeada por C1 y la componente rodeada por C2 mientras se va acercando al 2-ciclo atractivo. Finalmente, si z está en el exterior de J(fc), se tiene que fcn(z)® ¥.
Siguiendo este proceso, existirá una región de valores de c (en este caso 2 círculos y una cardioide de menor tamaño) para los que la dinámica presenta un ciclo de orden 3 atractivo. Para los valores de c en los círculos, los conjuntos de Julia son uniones de una cantidad numerable de curvas cerradas simples disjuntas 4 a 4 y con la propiedad de que donde se tocan 2 se toca también una tercera. Estas curvas están formadas por las componentes conexas que contienen a los tres puntos del 3-ciclo atractivo y por todas sus preimágenes. Los puntos de contacto son todas las preimágenes de uno de los puntos fijos de fc. Análogamente, existen 3 círculos y 3 cardioides de menor tamaño para los que la dinámica presenta un ciclo de orden 4 atractivo. Y así sucesivamente. Se obtiene así la siguiente figura (las cardioides de menor tamaño no están en contacto con la cardioide principal, y son tan pequeñas que apenas se ven)
Por ejemplo, en los casos c=-0.2+0.75i y c=0.25+0.52i se tiene
Sin embargo, los tipos anteriores no agotan todas las posibilidades. Por ejemplo, no hemos considerado el caso de que existan puntos periódicos atractivos indiferentes. En estos f'c(x0)=e2pia con aÎ[0,1]. El punto fijo se llama racionalmente indiferente si aÎQ e irracionalmente indiferente en caso contrario.
Un punto fijo racionalmente indiferente se llama también parabólico. Se puede demostrar que si fc tiene un punto periódico parabólico x0, entonces J(fc) incluye una serie de filamentos que llegan hasta x0, y por tanto, x0ÎJ(fc).
Esto ocurre, por ejemplo, en c=0.25+0.5i que es el punto de contacto de la cardioide con la región de 4-ciclos atractivos
El punto fijo indiferente está situado donde convergen los filamentos. Las órbitas de fc van avanzando desde las regiones menores hasta llegar a los 4 lóbulos que rodean al punto fijo. A partir de este momento rotan alrededor de éste, cambiando de lóbulo de manera periódica
Para describir el caso irracional necesitamos el concepto de estabilidad: Un punto fijo x0 es estable si para todo entorno U de x0 existe otro entorno V de x0 tal que fck(V)ÌU para todo k³0. Se puede demostrar que x0 es estable siempre que fc sea localmente conjugada al giro z®lz de ángulo a. Esto ocurre, por ejemplo, si a verifica la siguiente condición diofántica de Siegel: existen e>0 y m>0 tales que |a-m/n|>e/(nm) para cualesquiera mÎZ y nÎN. Esto significa que a se aproxima mal mediante números racionales. En particular, todos los números algebraicos verifican la condición de Siegel y por tanto el correspondiente punto x0 es estable. Es sabido que el conjunto de puntos que verifican la condición de Siegel tiene medida 1 en [0,1].
Si x0 es irracionalmente indiferente estable, el dominio maximal D(x0), conteniendo a x0, en el que fc es conjugada a lx es un disco de Siegel. El conjunto de Julia rodea este disco de Siegel y todas sus preimágenes. fc va avanzando por estas preimágenes hasta llegar al disco de Siegel. Aquí, fc rota en circunferencias invariantes alrededor del punto fijo. Un ejemplo prominente ocurre para el ángulo f=(1+Ö5)/2 f es la razón áurea que es precisamente el número irracional que peor se aproxima mediante racionales) que corresponde a c»-0.3905407802+0.5867879073i.
Las órbitas en el disco de Siegel son de la forma siguiente:
Finalmente, existen valores, como por ejemplo c=i, para los que el conjunto de Julia es una dendrita.
y otros, como c=0.66+i o c=1+i para los que se obtiene un conjunto de Julia totalmente desconectado.
Se basa en la propiedad 1 anterior. Según ésta, si denotamos Qc0=Bmax{2,|c|}(0) se tiene que Qc0 es una primera aproximación de J(fc). Si ahora definimos Qc-1={zÎC|fc(z)ÎQc0}, se tiene que Qc-1 es una mejor aproximación de J(fc). En general, si definimos Qc-k={zÎC|fck(z)ÎQc0}, obtenemos Qc0ÉQc-1ÉQc-2ɼÉQc-k¼ tales que limk®¥Qc-k=J(fc). Todos los puntos fuera de algún Qc-k están en la región de atracción de ¥. Si representamos en diferentes colores los puntos de Qc-k\Qc-(k+1) tendremos clasificados estos puntos según su velocidad de divergencia a ¥.
En la práctica, se considera k0, del orden de 100, y para cada xÎ[-2,2]x[-2,2] computamos términos de la sucesión fck(x). Si los k0 primeros términos verifican todos que |fck(x)|<max{2,|c|} se decide que xÎJ(fc). Si, por el contrario, existe k<k0 con |fck(x)|>max{2,|c|} se interrumpe la computación para ese x y se determina que xÏJ(fc). Si representamos en negro los puntos para los que la órbita del origen permanece acotada, y los puntos para los que esta órbita se sale de la bola de radio max{2,|c|} se representan de diferentes colores según el momento de la "salida" (que estaría relacionado con la velocidad con que la órbita se va a infinito), se obtienen las representaciones usuales de los conjuntos de Julia.
Para c=0 y c=0.1+0.1i se obtiene
para c=-0.5+0.5i y c=-1.1+0.1i se obtiene
en los casos c=-0.2+0.75i y c=0.25+0.52i se tiene
en c=0.25+0.5i y c»-0.3905407802+0.5867879073i
para c=i
y para c=0.66+i y c=1.5+1.5i
Para este método escogemos un punto periódico repulsivo z0 y calculamos (hasta un k adecuado) el conjunto Jn=Èk=1nfc-k(z0). Como J(fc) es la adherencia del conjunto ÈkÎNfc-k(z0), todos estos puntos están en J(fc) y van llenándolo según aumenta k.
Por ejemplo, si aplicamos este método a c=-0.5+0.5i y a c=-1.1+0.1i, para n=14, tomando como punto inicial un punto fijo repulsivo, obtenemos
Para c=0.25+0.5i y c»-0.3905407802+0.5867879073i, que correspondían a 2 casos racionalmente e irracionalemente indiferentes se obtienen resultados poco satisfactorios
Finalmente, para c=i (una dendrita) obtenemos
Este método presenta el problema de que los puntos de Jn no tienen por qué estar distribuidos uniformemente por J(fc). Al contrario, tienden a acumularse en algunas partes de J(fc) y a ser escasos en otras. Consecuentemente, incluso con n grande, algunas partes de J(fc) pueden no visitarse. Además, el tomar un n demasiado grande tiene el inconveniente del gran número de puntos a calcular, debido al crecimiento (2k) de este número.
En general, la distribución de la órbita negativa de z0 viene caracterizada por una medida mc con soporte en el conjunto de Julia. Si conociéramos de antemano mc sería fácil modificar el método de iteración inversa. La siguiente estrategia tiene en cuenta la medida mc en un sentido aproximado, sin conocerla actualmente.
Consideramos una rejilla con medida b pequeña. Entonces, para cada caja de esa medida dejamos de seleccionar puntos de esa caja una vez que hayamos escogido un número N determinado de antemano. Este proceso garantiza que estamos trabajando con un conjunto de puntos razonablemente bien distribuido en cada paso, a la vez que reduce los cálculos a efectuar.
Sea A(¥) la cuenca de atracción de ¥ y sea P el complementario de A(¥). Supongamos que tenemos una carga eléctrica distribuida uniformemente en P. Consideremos las curvas equipotenciales y las líneas de fuerza del campo electrostático inducido por la carga de P. El el caso de que P sea conexo todas las líneas de fuerza convergen a P.
En el caso más sencillo de c=0, la función potencial es logarítmica: p(z)=log2|z|.
Las curvas equipotenciales son circunferencias concéntricas y las líneas de fuerza son rectas de la forma arg(z)=q. A la línea de fuerza con pendiente 2pq le asignaremos la etiqueta q. Entonces el sistema dinámico envía la líneas de fuerza con etiqueta q en la línea de fuerza con etiqueta 2q(mod1).
Por el Teorema de la aplicación de Riemann, para cualquier c tal que el conjunto asociado J(fc) sea conexo, existe una biyección conforme entre las correspondientes regiones de atracción de infinito que induce una conjugación entre los sistemas dinámicos restringidos, y que lleva curvas equipotenciales en curvas equipotenciales y líneas de fuerza en líneas de fuerza. Esta relación nos va a permitir etiquetar las líneas de fuerza de J(fc) de forma que la dinámica entre líneas de fuerza coincida con la vista para el caso de P0.
Veamoslo con algunos ejemplos.
Consideremos el caso c=-0.5+0.5i.
Vamos a identificar la línea que llevará la etiqueta 0. Esta corresponderá, como en el caso de P0, a la única línea de fuerza invariante, que por otra parte era la que terminaba en el punto fijo repulsivo. Éste era el punto z1» 1.40867701-0.27512526i y estaba situado en el extremo derecho de J(fc). Por otra parte, la línea con etiqueta p se aplicará en la de etiqueta 0. Por tanto habrá de terminar en una de las preimágenes de z1. Como una de éstas preimágenes es el propio z1 nos queda una única posibilidad.
Si ahora tomamos c=-1.1+0.1i
tenemos dos puntos fijos, z1=(1-Ö(1-4c))/2 y z2=(1+Ö(1-4c))/2, ambos repulsivos. Sólo uno de ellos, en este caso z2, puede corresponder a la línea con etiqueta 0. Como el otro punto también es invariante, habría de corresponder a una línea de fuerza invariante. Sin embargo, esto no es posible, puesto que la única línea invariante por la aplicación q®2q(mod1) es la línea q=0. La única solución es que en z1 terminen dos líneas de fuerza que se apliquen una en la otra. Este es de hecho el caso pues z1 es el punto en el que ocurre el estrangulamiento situado a la izquierda del cuerpo principal. Las etiquetas de las líneas de fuerza en ese punto serán 1/3 y 2/3 pues éstos son los únicos valores que se aplican uno en el otro mediante la aplicación q®2q(mod1).
Por otra parte, igual que en el caso anterior, la línea con etiqueta p se aplicará en la de etiqueta 0. Por tanto habrá de terminar en una de las preimágenes de z2. Como una de éstas preimágenes es el propio z2 nos queda una única posibilidad. Continuando de esta forma podemos comprender todos los estrangulamientos que se observan en J(fc) para el caso de que exista un ciclo atractivo.
Para el caso de ciclos indiferentes, por ejemplo para c=0.25+0.5i y c»-0.3905407802+0.5867879073i se tiene
Finalmente, para la dentrita que se obtiene para c=i tenemos
En los ejemplos anteriores hemos visto que para asignar valores a las líneas de fuerza es necesario que éstas terminen en un punto de J(fc). Esto no tiene porque ser cierto en general. Sí lo es siempre que J(fc) sea localmente conexo. En este caso, se dice que el ángulo externo en el punto en que termina la línea de fuerza es la etiqueta de ésta. Si J(fc) no es localmente conexo sólo se sabe que las líneas de fuerza correspondientes a ángulos racionales terminan en puntos de J(fc) que serán puntos periódicos o preperiódicos. Si el denominador es impar, la línea termina en un punto periódico, mientras que si el denominador es par la termina en un punto preperiódico (demostrarlo).
A primera vista podría parecer que las fronteras de los conjunto Qc-k={zÎC|fck(z)ÎQc0} que se utilizan para implementar el algoritmo de tiempo de escape, podrían corresponder a curvas equipotenciales. Sin embargo, si observamos los conjuntos de Julia de las figuras vemos que la frontera de Qc0, que es una circunferencia, claramente no va a ser en general una curva equipotencial. De hecho, curvas equipotenciales en forma de circunferencia únicamente aparecen para c=0. Sin embargo, para cualquier c, las curvas equipotenciales suficientemente alejadas de P serán casi circunferencias.
Consideramos la familia de discos de la forma Dk={zÎC|log2|z|£2k}. Como el radio de Dk es 22k, en particular el radio de D3 es 256. Por tanto, en la práctica, la frontera de fck-3(D3) va a ser una buena aproximación de una curva equipotencial. La función potencial viene dada por pc(z)=limn®¥(log2|fcn(z)|)/(2n).
Por ejemplo, para c=-0.5+0.5i las curvas equipotenciales son
para c=-1.1+0.1i son
para c=0.25+0.5i y c»-0.3905407802+0.5867879073i,
y para c=i
El conjunto de Mandelbrot M se define como el conjunto de parámetros cÎC para los que el conjunto de Julia asociado a fc es conexo.
Esta definición no es adecuada para computar imágenes del conjunto de Mandelbrot. Para este fin es mucho más útil la caracterización dada por el siguiente teorema.
Teorema. M coincide con el conjunto de parámetros del plano complejo para los que la órbita (fck(0)) está acotada. Esto equivale a que fck(0) no tiende a ¥.
En la demostración se utiliza el siguiente lema.
Lema. Sea C una curva cerrada simple en el plano complejo.
Como consecuencia del Teorema anterior se obtiene que M se encuentra acotado de la siguiente manera:
Demostración de 1. Si |c|>2 entonces |fc2(0)|=|c||c+1|³|c|||c|-1|³|c|>2 y por tanto, como J(fc)ÌBmax{2,|c|}(0), se tiene que 0ÌA(¥).
Se basa en la propiedad anterior. Según ésta, si denotamos D0=B2(0) se tiene que D0 es una primera aproximación de M. Si ahora definimos D-1={cÎC|fc(c)ÎD0}, se tiene que D-1 es una mejor aproximación de M. En general, si definimos D-k={cÎC|fck(c)ÎD0}, obtenemos D0ÉD-1ÉD-2ɼ tales que limk®¥D-k=M. Finalmente, si representamos en diferentes colores los puntos de D-k\D-(k+1) tendremos clasificados estos puntos según la velocidad de divergencia a ¥ de fc(c). De esta manera se obtienen las representaciones usuales del conjunto de Mandelbrot, que sugieren que éste tiene una estructura altamente compleja
La complejidad se pone de manifiesto si hacemos ampliaciones del mismo
Si queremos que las franjas se aproximen de manera más adecuada al conjunto de Mandelbrot es necesario aumentar la región de escape. En vez de considerar D0 igual a la circunferencia de radio 2 se tomaría, por ejemplo, la de radio 256 (esto es, D0=B256(0)). De esta forma las franjas tienen más tiempo para adaptarse al conjunto de Mandelbrot. Obsérvese además en el caso anterior todas las franjas se tocaban en el punto –2+0i.
En la práctica, para obtener computacionalmente imágenes del conjunto de Mandelbrot se consideran dos números r y k0, ambos del orden de 200, y para cada c computamos términos de la sucesión fck(0). Si los k0 primeros términos verifican todos que |fck(0)|<r se decide que cÎM. Si, por el contrario, existe k£k0 con |fck(0)|>r se interrumpe la computación para ese c y se determina que c está fuera de M. Finalmente, representamos en negro los puntos para los que la órbita del origen permanece acotada, y los puntos para los que esta órbita se sale de la bola de radio r se representan de diferentes colores según el momento de la "salida" (que estaría relacionado con la velocidad con que la órbita se va a infinito).
El conjunto de Mandelbrot tiene entre otras la propiedad de que contiene copias reducidas del mismo a todas las escalas. Pinchando en la imagen anterior obtenemos sucesivas ampliaciones del conjunto de Mandelbrot en la que aparecen desde copias pegadas en el borde hasta copias unidas al cuerpo principal por finos filamentos.
A pesar de su complejidad se tiene el siguiente resultado.
Teorema [Douday y Hubbard]. M es conexo.
No se sabe si M es localmente conexo, aunque se cree que sí lo es.
Ya vimos al hablar de los conjuntos de Julia, que los diferentes tipos de conjuntos de Julia se reparten en diferentes regiones del plano complejo. En la siguiente figura se puede ver la relación entre el conjunto de Julia correspondiente a un valor de c y el lugar que ocupa c en relación con el conjunto de Mandelbrot.
Si consideramos el subconjunto M' de M formado por los puntos correspondientes a puntos c para los que fc tiene un ciclo atractivo, M' resulta ser un conjunto abierto con infinitas componentes. En cada una de estas componentes, el periodo del ciclo atractivo correspondiente es el mismo. Así,
El periodo de los conjuntos de Julia de cada uno de los círculos adosados a la cardioide principal coincide con el número de ramificaciones (contando el pie) de la antena principal adosada a él.
Por otra parte, los puntos de contacto de estos círculos con la cardioide corresponden a puntos fijos parabólicos (que son indiferentes). En éstos J(fc) incluye una serie de filamentos que llegan hasta el punto fijo y las órbitas de fc van avanzando desde las regiones menores hasta llegar a los 4 lóbulos que rodean al punto fijo. A partir de este momento rotan alrededor de éste, cambiando de lóbulo de manera periódica
Otros puntos de la frontera corresponden a discos de Siegel. El conjunto de Julia rodea estos discos de Siegel y todas sus preimágenes. fc va avanzando por estas preimágenes hasta llegar al disco de Siegel. Aquí, fc rota en circunferencias invariantes alrededor del punto fijo.
Otros tipos de puntos son los extremos y las bases de las antenas. Por ejemplo, el punto c=-2 se caracteriza por que el 0 es enviado al punto fijo repulsivo 2. En general, para todos estos valores de c (conocidos como puntos de Misiurevicz) el punto crítico 0 es preperiódico (en lugar de periódico) y es enviado a un ciclo repulsivo.
Vamos a ver los casos más sencillos (donde n denota la longitud del periodo y k la longitud de la parte no periódica):
Los puntos de Misurievicz son densos en la frontera de M. Si c es un punto de Misurievicz fc tiene un punto fijo indiferente y J(fc) es una dendrita (localmente conexa y sin puntos interiores). Además, M y J(fc) son asintóticamente auto-semejantes en c.
En lo filamentos que salen del cuerpo principal de M hay copias en miniatura de M. Si c está en una de éstas, J(fc) es una dendrita, en cuyos vértices hay copias del conjunto de Julia asociado al valor de c correspondiente en el cuerpo principal de M.
Finalmente, si cÏM, fc no tiene ningún ciclo atractivo. Además J(fc) es totalmente desconectado.
Vamos a asociar a cada uno de los círculos adosados a la cardioide principal un número racional (irreducible) p/q, que llamaremos número de rotación, donde q es el periodo del ciclo atractivo de los conjuntos de Julia en ese círculo.
Existen 3 métodos equivalentes para computar p:
Los números de rotación verifican las siguientes propiedades:
Consideremos la cardioide M'1. Para profundizar más en su estructura, Douady y Hubbard consideraron la aplicación r:M'1®D (D=disco unidad) que a cada punto cÎW le hace corresponder el valor de la derivada en el correspondiente punto fijo atractivo. Demostraron entonces que r es un isomorfismo conforme. Por ejemplo, r lleva el origen en el origen.
La aplicación r puede extenderse a las fronteras de M'1 y D. Si cζM'1 y r(c)=e2pia, 0£a<1, se dice que c es un punto de ángulo interno a. En este caso el ángulo interno en la frontera coincide con el ángulo q en la fórmula con que la definimos. Si además es un punto de contacto de la cardioide con alguno de los círculos menores, el ángulo interno también coincide con el número de rotación del círculo. La razón es que el punto de contacto corresponde a un valor de c para el que el punto fijo atractivo zc de fc se convierte en indiferente y en el que fc es una rotación de ángulo 2pp/q.
Por otra parte, si el ángulo interno de c es suficientemente irracional, el conjunto de Julia está formado por discos de Siegel.
Lo anterior se puede aplicar a todas las componentes de M', considerando para cada componente W la aplicación rW:W®D que a cada punto cÎW le hace corresponder el valor de la derivada en el correspondiente ciclo atractivo. r es un isomorfismo conforme. Cada componente W de M' tiene un centro bien definido en el que el correspondiente ciclo es superatractivo.
Si {z1,z2,¼,zk} es un ciclo atractivo para c, se tiene que r(c)=2kz1z2...zk. Por tanto, los centros de las componentes de M' correspondientes a ciclos atractivos k-periódicos vienen dados por la ecuación fck(0)=0. Por tanto, no pueden existir más de 2k-1componentes con ciclos atractivos de periodo k. Vamos a dar una lista de los centros hasta el periodo 4.
Igual que en el caso de la cardioide, la aplicación rW puede extenderse a las fronteras de W y D. Si cζW y rW(c)=e2pia, 0£a<1, se dice que c es un punto de ángulo interno a. El punto de ángulo interno 0 se llama raíz de W y es el punto en el que W se une a una de las componentes previas (excepto para la cardioide en que coincide con el vértice). Si c es un punto de ángulo interno a=p/qÎQ existe una componente satélite de W que se une a W en c, y cuyos ciclos atractivos tienen q veces el periodo de los de W.
Como M es conexo, podemos suponer, al igual que hicimos para los conjuntos de Julia, que tenemos una carga eléctrica distribuida uniformemente en M. Entonces las fronteras de los conjuntos Mk son curvas equipotenciales y la función potencial viene dada por pM(c)=limn®¥(log2|fcn(c)|)/(2n)=ln|z|+å1¥(1/2n)ln|1+(c/(pcn-1(c))2|.
En cierto modo, las superficies equipotenciales y las líneas de fuerza se pueden ver como un sistema de coordenadas polares para el complemento de M en C. Más concretamente, existe una biyección entre las curvas equipotenciales y las líneas de fuerza de M y del disco unidad. Esta relación nos va a permitir etiquetar las líneas de fuerza de M de forma que la etiqueta de cada líneas de fuerza nos de información sobre el punto de M al que va a llegar, siempre que la etiqueta correspondiente sea una fracción racional de 2p. Dada la simetría del conjunto de Mandelbrot y la invariancia del eje real, la línea de fuerza con etiqueta 0 será la semirrecta [1/4,¥).
Las etiquetas de las líneas de fuerza van a estar relacionadas con los estrangulamientos de M que corresponderán a puntos donde se encuentran dos líneas de fuerza. Esto ocurre, por ejemplo, en los estrangulamientos principales donde se pegan discos a la cardioide principal. En ese caso, las líneas asociadas al estrangulamiento corresponden a ángulos de la forma 2pp/q con q impar. Por otra parte, si para un c las iteraciones fck(c) desembocan, tras l iteraciones, en un ciclo de periodo m (como ocurre, por ejemplo, para c=i) la línea asociada corresponde a ángulos de la forma p/q con q par.
En la práctica, si c es un punto de Misiurevicz, el ángulo externo en c es igual al ángulo externo de c en J(fc), debido a la semejanza de M y J(fc) cerca de c. Por otra parte, en los puntos de contacto el ángulo externo en c es igual al ángulo externo del punto fijo pc en J(fc) (no puede ser igual al ángulo externo de c en J(fc) porque cÏJ(fc).
Los ángulos externos proporcionan una representación de M realizando la siguiente construcción en la circunferencia S1:
Esto equivale a definir una relación de equivalencia » en S1 tal que x»y si y solo si x e y son ángulos externos del mismo punto de M.
Teorema. Si M es localmente conexo, M y S1/» tienen la misma forma.
Existe una algoritmo para dibujar los enlaces: