Se dice que un sistema dinámico (X,f) es caótico si
Si (X,f) es sensible respecto a las condiciones
iniciales, pequeños errores en la estimación de valores de la
función se pueden ampliar considerablemente al iterarla.
Si (X,f) es topológicamente transitivo no puede descomponerse
en dos subconjuntos disjuntos invariantes con interior no
vacío. (Si f posee una órbita densa entonces (X,f) es
topológicamente transitivo).
Por tanto, si un sistema dinámico es caótico, tiene una
componente de impredicibilidad, una componente de irreducibilidad pero aun
así tiene una tercera componente de regularidad.
Recientemente, en 1994, se ha demostrado que todo sistema dinámico definido en un intervalo por una función f topológicamente transitiva es caótico. Anteriormente, en 1992, ya se había probado que en cualquier espacio métrico, la sensibilidad a las condiciones iniciales se deduce de las otras dos propiedades. En 1997 se ha probado que un sistema dinámico es caótico si y solo si para cualesquiera conjuntos abiertos U y V existe una órbita periódica que visita ambos.
El operador "shift" es la aplicación S:[0,1)®[0,1) dada por la gráfica
La iteración de un punto arbitrario racional siempre es periódica y como los puntos que maneja el ordenador son racionales no se puede experimentar el comportamiento de esta función.
En codificación binaria S(0.a1a2a3a4¼) = 0.a2a3a4¼.
Teorema. El sistema dinámico ([0,1],S) es caótico.
El operador "tienda de campaña" es la aplicación T:[0,1]®[0,1] dada por la gráfica
La iteración de un punto arbitrario racional siempre es periódica y como los puntos que maneja el ordenador son racionales no se puede experimentar el comportamiento de esta función.
En codificación binaria T(0.a1a2a3a4¼) = 0.a2a3a4¼, si a1=0, y T(0.a1a2a3a4¼) = 0.a*2a*3a*4¼, si a1=1, donde a* =1-a para todo aÎ{0,1}.
Lema. Se cumple que Tk+1=T Sk.
Teorema. El sistema dinámico ([0,1],T) es caótico.
Sea f de [0,1] en [0,1] dada por f(x)=4x(1-x). Recordemos que su gráfica es
y que la iteración de ciertos puntos era densa.
Lema Sea h:[0,1]®[0,1] dada por h(t)=sen2((p/2) x).
Entonces f h=h T.
Por tanto, como h es homeomorfismo se tiene que fk h=h Tk para todo kÎN. Luego h y h-1 mandan órbitas en órbitas, esto es, O+f(x)=h(O+T(h-1(x))), para todo xÎ[0,1].
Teorema. El sistema dinámico ([0,1],f) es caótico.
La demostración de este hecho se basa en la existencia del homeomorfismo h de [0,1] en sí mismo tal que f h=h T. La caoticidad de h se deduce de la de T.
Observación. En [7] se dan demostraciones más breves de la caoticidad de S, T y f, basadas en la caracterización de sistema dinámico es caótico como aquél que cumple que para cualesquiera conjuntos abiertos U y V existe una órbita periódica que visita ambos.
Para un n-ciclo periódico atractivo (repulsivo) vimos que el ritmo con el que las órbitas cercanas se acercaban al (alejaban del) ciclo venía regulado por la derivada de fn en cualquier punto del ciclo. Además vimos que si el ciclo era {x1,x2,x3,...,xn}, entonces tras n iteraciones sobre un punto cercano la distancia de éste al ciclo se había multiplicado por
|(fn)'(x1)|=...=|(fn)'(x_n)|=|f'(x1)||f'(x2)||f'(x3)|...|f'(xn)|
y la variación media tras cada iteración será
Ön(|f'(x1)||f'(x2)||f'(x3)|...|f'(xn)|)
En principio no hay ninguna razón para tener que restringirnos a ciclos. Si tenemos una órbita {x1,x2,x3,...}, no periódica podemos considerar el valor
L(x1)=limn®¥Ön(|f'(x1)||f'(x2)||f'(x3)|...|f'(xn)|)
A L(x1) se le llama número de Lyapunov de la órbita {x1,x2,x3,...}, y es el mismo para todos los elementos de la órbita. El número de Lyapunov mide la contracción (expansión) local asintótica en cada iteración en la proximidad de una órbita.
El exponente de Lyapunov es el valor
h(x1)=limn®¥(1/n)(ln|f'(x1)|+ln|f'(x2)|+ln|f'(x3)|+...+ln|f'(xn)|)=log(L(x1)
Obsérvese que L existe si y solo existe h y que L=eh. De esta manera si se obtiene un exponente de Lyapunov negativo, las órbitas cercanas serán atraídas, mientras que si es positivo tenderán a separarse. Tanto L como h no están definidos si f' se anula en algún punto de la órbita.
Si una órbita {x1,x2,x3,...} es asintótica a una órbita periódica {y1,y2,y3,...} (esto es, limn®¥|xn-yn|=0), entonces L(x1)=L(y1) (siempre que ambos estén definidos).
Se dice que una órbita {x1,x2,x3,...} es caótica si
Por ejemplo, para la función "shift", la derivada, siempre que existe, vale 2 (en módulo). Por tanto, cualquier órbita que no pase por el punto 1/2 tiene exponente de Lyapunov ln2. Por otra parte si una órbita es asintóticamente periódica, ha de ser eventualmente periódica (pues todos los ciclos son repulsivos). Por tanto, para la función "shift" todas las órbitas que no son eventualmente periódicas son caóticas. Lo mismo ocurre para la función tienda. Finalmente, usando la conjugación entre la función tienda y la curva logística se muestra que esta última también tiene órbitas caóticas.