Teorema de Li y Yorke Sea f:R®R continua y supongamos que f tiene un punto periódico de periodo 3. Entonces f tiene puntos periódicos de todos los periodos.
Demostración.
Si f tiene un 3-ciclo, existen a,b,c tales que f(a)=b, f(b)=c y f(c)=a. De todas las posibles ordenaciones de a, b y c solamente hay 2 esencialmente distintas, a < b< c o a > b > c. Si suponemos que se cumple el primer caso, f ha de pasar por los 3 puntos en la forma que se ve en la siguiente gráfica
Sean I0 =[a,b] e I1 =[b,c]. Entonces f(I0)ÉI1 y f(I1)É I0ÈI1. Como f(I1)ÉI1 existe x1Î I1 punto fijo para f.
Por otra parte como f(I1)ÉI0 existe A0ÌI1 tal que f(A0)=I0 y por tanto f2(A0)ÉI1ÉA0.
Luego existe x2 Î A0 punto fijo para f2 y como f(A0 )=I0 no será punto fijo de f.
Para encontrar un punto periódico de periodo n para cualquier n mayor o igual que se continuaría de la siguiente manera. Como f(I1 )É A0 , existe A1 Ì I1 tal que f(A1 )=A0 . Como f(I1 )É A1 , existe A2 Ì I1 tal que f(A2 )=A1. De esta forma obtenemos A0, A1, A2,..., An-2ÌI1 tales que f(Ai)=Ai-1.
En particular fn-2(An-2)=A0 y por tanto fn(An-2)=f2(A0)ÉI1. Luego existe xnÎAn-2 punto fijo para fn. Además, como xn, f(xn), f2(xn),...fn-2(xn)ÎI1, fn-1(xn)ÎI0 y fn(xn)=xnÎI1, la única manera de que el periodo de xn fuera menor que n sería que fn-1(xn)ÎI0ÈI1, pero entonces estaríamos en el caso del 3-periodo inicial.