Caracterización del Conjunto de Mandelbrot

Teorema. M coincide con el conjunto de parámetros del plano complejo para los que la órbita (f_c^k(0)) está acotada. Esto equivale a que f_c^k(0) no tiende a ¥.

Demostración.

i) Si la órbita {f_c^k(0)} está acotada, existe una circunferencia de diámetro suficientemente grande tal que

1. toda la órbita {f_c^k(0)} está contenida en el interior de C,
2. f_c^-1(C) está contenida en el interior de C,
3. las órbitas de todos los puntos situados en el exterior de C divergen a ¥.

En particular, C encierra al punto c=f_c(0) y entonces se tiene que f_c^-1(C) es una curva cerrada simple contenida en C tal que la imagen inversa de la región encerrada por C coincide con la región encerrada por f_c^-1(C) (y por tanto f_c^-1(C) encierra a cÎf_c^-1f_c² (0)). De forma análoga f_c^-2(C) es una curva cerrada simple contenida en f_c^-1(C) tal que la imagen inversa de la región encerrada por f_c^-1(C) coincide con la región encerrada por f_c^-2(C) (y por tanto f_c^-2(C) también encierra a c).

Se puede ver que la región de atracción de ¥ es la unión de los exteriores de todas las curvas f_c-n(C), y por tanto J(f_c) es la frontera de la intersección de los interiores de todas las curvas f_c-n(C), y esto implica que tiene que ser conexo.

ii) Si la órbita {f_c^k(0)} no está acotada, ha de cumplir que f_c^k(0) ®¥. Entonces existe una circunferencia de diámetro suficientemente grande tal que

1. {0,f_c(0),f_c² (0),¼,f_c^k-1(0)} están contenidos en el interior de C,
2. {f_c^k(0)}ÎC,
3. {f_c^k+1(0),f_c^k+2(0),¼} están contenidos en el exterior de C,
4. f_c^-1(C)ÌC está contenida en el interior de C,
5. las órbitas de todos los puntos situados en el exterior de C divergen a en módulo a ¥.

En particular, C encierra al punto c=f(0) y entonces se tiene que f_c^-1(C) es una curva cerrada simple contenida en C tal que la imagen inversa de la región encerrada por C coincide con la región encerrada por f_c^-1(C) (y por tanto f_c^-1(C) encierra a cÎf_c^-1f_c² (0)). De forma análoga f_c^-2(C) es una curva cerrada simple contenida en f_c^-1(C) tal que la imagen inversa de la región encerrada por f_c^-1(C) coincide con la región encerrada por f_c^-2(C) (y por tanto f_c^-2(C) también encierra a c). Este proceso continua hasta llegar al paso k-1. En este momento cÎf_c-(k-1)(C) y por tanto f_c^-k(C) es una curva cerrada en forma de 8 tal que la imagen inversa de la región encerrada por f_c-(k-1)(C) es la unión de las dos regiones encerradas por f_c^-k(C). Entonces J(f_c) estará contenido en la unión de ambas regiones y puesto que es invariante por f_c^-1 tendrá parte en ambas regiones. Luego en este caso J(f_c) es no conexo.