Caos de la aplicación tienda

Teorema. El sistema dinámico ([0,1],T) es caótico.

Demostración.

i) Para ver que ([0,1],T) es sensible respecto a las condiciones iniciales tomamos d<1/2. Entonces para todo x=(0.a₁a₂a₃a₄¼)Î[0,1] y todo e>0 consideramos nÎN tal que 1/(2ⁿ)<e y escogemos y=(0.a₁a₂a₃a₄¼a_k 0 0¼) e y'=(0.a₁a₂a₃a₄¼a_k 1 1¼). Entonces d(x,y)£1/(2ⁿ)<e y d(x,y')£1/(2ⁿ)<e. Como S^k (y)=0 y S^k (y')=1 alguna de las distancias d(S^k(x),S^k(y)) o d(S^k(x),S^k(y')) habrá de ser mayor o igual que 1/2.

ii) Para ver que ([0,1],T) es topológicamente transitivo consideramos dos subconjuntos abiertos cualesquiera U y V de [0,1]. Sea V'=T^-1 (V), que es abierto por ser T continua. Como ([0,1],S) era topológicamente transitivo se tiene que existe kÎN tal que S^k(U)ÇV'¹Æ. Entonces T^k+1 (U)ÇV = T(S^k(U))ÇT(V') = T(S^k(U)ÇV')¹Æ.

iii) Si x es un punto k-periódico de S se tiene que S^k (x)=x. Entonces T^k+1(x)=T(S^k(x))=T(x) y por tanto T(x) es k-periódico para T. Por tanto el conjunto de puntos periódicos de ([0,1],T) contiene a la imagen por T de un conjunto denso (los puntos periódicos de ([0,1],S)) y es por tanto denso también.