Caos de la herradura de Smale

Demostración.

Como hicimos al final de la demostración del caos de la aplicación del panadero, vamos a asignar a cada punto xÎL su itinerario.

Para ello, denotamos en el cuadrado inicial D denotamos por D₀ a la franja vertical izquierda y por D₁ a la franja vertical derecha del cuadrado de la izquierda de la siguiente figura.

A cada punto de L la asignamos una expresión única x=(...a_-3a_-2a_-1.a₀a₁a₂a₃...) donde a_i=kÎ{0,1} si y solo si f_lⁱ(x)ÎD_k. Así, los puntos de D₀ tendrán expresiones de la forma (...a_-3a_-2a_-1.0a₁a₂a₃...) y los de D₁ de la forma (...a_-3a_-2a_-1.1a₁a₂a₃...). Por otra parte, los puntos de la franja horizontal inferior de la imagen de la derecha tendrán expresiones de la forma (...a_-3a_-20.a₀a₁a₂a₃...) y los de la franja horizontal superior expresiones de la forma (...a_-3a_-21.a₀a₁a₂a₃...).

Con esta interpretación es evidente que f_l(...a_-3a_-2a_-1.a₀a₁a₂a₃...). = (...a_-3a_-2a_-1a₀.a₁a₂a₃...).

Falta ver que existe una biyección entre los puntos de L y los del espacio de cadenas de 0's y 1's. Por un lado es obvio que a todo punto de L se le puede asignar una de estas cadenas. Por otra parte, la secuencia (...a_-3a_-2a_-1.) determina una línea horizontal de L⁺, mientras que la secuencia (.a₀a₁a₂a₃...) determina una línea vertical de L^-. Entonces (...a_-3a_-2a_-1a₀.a₁a₂a₃...) determina un único punto de L.

Es fácil ver entonces que f_l|_L es caótica.