Caos de la aplicación "shift"

Teorema. El sistema dinámico ([0,1],S) es caótico.

Demostración.

i) Para ver que ([0,1],S) es sensible respecto a las condiciones iniciales tomamos d<1/2. Entonces para todo x=(0.a₁a₂a₃a₄¼)Î[0,1] y todo e>0 consideramos nÎN tal que 1/(2ⁿ)<e y escogemos y=(0.a₁a₂a₃a₄¼a^*_na_n+1¼)Î[0,1] donde a^*_n=1-a_n. Entonces d(x,y)=1/(2ⁿ)<e y d(S^k(x),S^k(y))=1/2.

ii) Para ver que ([0,1],S) es topológicamente transitivo consideramos dos subconjuntos abiertos cualesquiera U y V de [0,1]. Sean x=(0.a₁a₂a₃a₄¼)ÎU e y=(0.b₁b₂b₃b₄¼)ÎV. Como U es abierto existe k suficientemente grande tal que x'=(0.a₁a₂a₃a₄¼a_kb₁b₂¼)ÎU. Entonces S^k (x')=yÎV por tanto S^k (U)ÇV¹ Æ .

iii) Los puntos periódicos de ([0,1],S) son aquellos cuya expresión en base 2 es periódica. Para ver que estos puntos son densos consideramos un subconjunto abierto U de [0,1]. Sea x=(0.a₁a₂a₃a₄¼)ÎU. Como U es abierto existe k suficientemente grande tal que x'=(0.a₁a₂a₃a₄¼a_k a₁a₂a₃a₄¼a_k a₁a₂¼)ÎU. Como x' es periódico se deduce que los puntos periódicos son densos.