Caos de la aplicación del panadero

Teorema. Sea L=Ç_nÎNfⁿ([0,1]´[0,1]). Entonces L es el producto de [0,1] por un conjunto de tipo Cantor. Además, f|_L es caótica.

Demostración.

Es fácil ver que L es el producto de [0,1] por un conjunto de tipo Cantor. Por tanto, si (x,y)ÎL, (x,y) puede expresarse en la forma (x,y)=((a₁,a₂,a₃,...), (b₀,b₁,b₂,b₃,...)) donde x=0,a₁a₂a₃... en codificación binaria, e donde y=0,b₁b₂b₃... con el sistema de direcciones habitual del Conjunto de Cantor.

Entonces, la aplicación se expresa como

f_l((a₁,a₂,a₃,...),(b₀,b₁,b₂,b₃,...)) = ((a₂,a₃,a₄,..),(a₁,b₀,b₁,b₂,b₃,...)).

En este caso es más útil representar el punto ((a₁,a₂,a₃,...),(b₀,b₁,b₂,b₃,...)) como (...a_-3a_-2a_-1.a₀a₁a₂a₃...). Entonces f_l(...a_-3a_-2a_-1.a₀a₁a₂a₃...). = (...a_-3a_-2a_-1a₀.a₁a₂a₃...). y es inmediato probar entonces que f_l|_L es caótica.

Las coordenadas (...a_-3a_-2a_-1a₀.a₁a₂a₃...) tienen otra interpretación. Si en el cuadrado inicial D denotamos por D₀ a la mitad izquierda y por D₁ a la mitad derecha, la coordenada (...a_-3a_-2a_-1.a₀a₁a₂a₃...) representa el itinerario del punto. Esto es, x=(...a_-3a_-2a_-1.a₀a₁a₂a₃...). donde a_i=kÎ{0,1} si y solo si f_lⁱ(x)ÎD_k. Con esta interpretación es evidente que f_l(...a_-3a_-2a_-1.a₀a₁a₂a₃...) = (...a_-3a_-2a_-1a₀.a₁a₂a₃...).