Teoría de Netos en campo Real

La comprensión del método de Netos en campo real, también conocido como método de Netos-Raphson, facilitará el entendimiento y asimilación del método de Netos en campo complejo.

En primer lugar hay que decir que el método de Netos se basa en el método de la forma:

es decir, la aproximación x_n+1 no es más que el cero del polinomio tangente a f(x) en el punto anterior (x_n,f(x_n)) de la sucesión X_n. Cada uno de estos puntos se suponen una mejor aproximación a la verdadera raíz s.

Una vez visto esto, seleccionamos un punto inicial que será una aproximación a la solución de la ecuación. Tomaremos por ejemplo el punto x=1.

Estos pasos siguen el esquema del siguiente algoritmo expresado en pseudocódigo:

1.-	Tomar un punto inicial, x₀, como primera aproximación de la raíz de la función.
2.-	Repetir
	2.1.-	Obtener la recta tangente en el punto (x_i-1, f(x_i-1))
	2.2.-	Hallar el punto de corte con el eje x (x_i)
	2.3.-	Tomar el punto x_i como punto inicial de la siguiente iteración.
3.-	Si la distancia , se acaban las iteraciones. En otro caso, volver al punto 2.

Al no tener todas las ecuaciones una posible sucesión que converja a la raíz de la misma es necesario poner un límite al método iterativo. La condición de terminación puede ser o bien que se haya encontrado dos aproximaciones lo suficientemente cercanas como para dilucidar que es una raíz de la ecuación, o bien un número determinado de iteraciones. Este número de iteraciones se debe elegir con sumo cuidado, ya que si se selecciona un número de iteraciones máximo muy pequeño, es posible que el método iterativo no encuentra la solución de la ecuación, mientras que si es muy grande, el método tardará bastante en realizar las iteraciones.

Otro aspecto del método de Netos en el campo real a tener en cuenta, es que su comportamiento depende tanto de ecuación seleccionada como del punto inicial que se tome. Observemos los siguientes ejemplos:

En este ejemplo se puede observar como, debido a las características de la gráfica de la función, indiferentemente de donde se comience, el método de Netos entra en un bucle infinito.

En este segundo caso, si se toma como punto inicial un punto muy cercano a la raíz (x = 0) el método funcionará correctamente obteniendo la aproximación a la solución de una forma rápida. Sin embargo, si nos alejamos de la raíz de la ecuación, la sucesión de "mejores" aproximaciones diverge de la raíz y el método no es capaz de encontrar la solución.

En las siguientes imágenes se puede observar el proceso de obtención de una aproximación de la raíz de la ecuación x²-1 de forma gráfica:

Una región de atracción no es más que el conjunto de puntos que van a una raíz determinada. En el ejemplo anterior, la ecuación tiene dos raíces, por lo que habrá dos regiones de atracción. Cabe la posibilidad de que nos encontremos con alguna zona sin colorear. Esto es debido a que no se puede alcanzar una raíz aplicando números, bien porque no exista dicha raíz, bien porque se necesiten más pasos de iteración de los fijados para el algoritmo.

Haciendo uso del siguiente applet se puede observar tanto las regiones de atracción como el funcionamiento del método de Netos para algunas gráficas determinadas.

Obsérvese como para la función sin(x) se localizan muchas zonas de atracción. Esto es debido a que esta función posee muchas raíces. El caso contrario lo encontramos en la función x/(|x|)^1/2que, aunque tiene una raíz, no se alcanza en ningún momento. La función x/(1+x²) muestra una sola región de atracción muy localizada cerca del origen, ya que es en estos puntos donde el método de Newton funciona correctamente.