En el campo complejo sucede lo mismo. Ahora x y, por consiguiente, f(x) son números complejos. Partiendo de la base de que es posible definir la derivada sobre funciones de variable compleja del mismo modo que se realiza con funciones de variable real, la fórmula de Newton se puede expandir al campo complejo. Utilizando esta observación, el método de Newton para el campo complejo quedaría de la siguiente forma:

Newton en el campo complejo se comporta de manera semejante a como lo hace en el campo real. Cabe destacar, que cualquier número en el campo complejo se puede expresar como una combinación de dos números reales, z = a + b i, por lo que mientras que un punto en el campo real se puede localizar en una recta, en el campo complejo se debe localizar en un plano, lo que conlleva una geometría más complicada. El método iterativo comenzará con un punto z₀ y generará una sucesión de puntos zn de los cuales se espera que converja a la raíz compleja.

El problema que enunció Cayley en el año 1879 es el siguiente:

Cayley se basa en el método de Newton y plantea su problema de la siguiente forma: ¿Si se parte de un punto aleatorio del plano complejo, a qué raíz de la función z³-1=0 convergirá el método de Newton?

La función z³-1=0 tiene tres raíces, a saber:

El método de Newton para esta ecuación viene dado por la expresión iterativa:

La propiedad básica de esta ecuación es que las soluciones de la ecuación cúbica son los puntos atrayentes (puntos fijos) de las iteraciones.

Se puede observar como las zonas de atracción de las raíces tienen una frontera común. De esta forma, si se toma una bola cerrada alrededor de un punto cualquiera de la frontera, esta bola contendrá siempre puntos pertenecientes a la zona de atracción de las tres raíces (en general, de las n raíces).

Dado un punto del plano sobre el que se aplica Newton, podemos obtener una sucesión que converja a una de las raíces. Esta raíz no siempre será la más cercana, ya que Newton puede alejar la sucesión de la raíz más próxima a otro punto más alejado. Este hecho, reflejado en su representación gráfica, genera una imagen compleja.

La representación gráfica más habitual consiste en generar las regiones de atracción en el mismo sentido que en el campo real, es decir, a cada raíz se le asigna un color y a cada punto del plano se le aplica el proceso iterativo, obteniendo la raíz compleja a la que converge la sucesión Zi. Se pinta el punto del color que le corresponda a dicha raíz. De esta forma, se obtienen gráficas como las que se muestran a continuación.

Pero existe otra forma de representación gráfica de estas funciones. Para ello, además de fijarse en la raíz que atrae al punto, y por lo tanto en su color, hay que fijarse en el número de pasos o iteraciones del método iterativo que hay que realizar para llegar a una bola lo suficientemente pequeña como para saber que será atraído por la raíz. De esta forma, se va incrementando el tono del color según va aumentando el número de iteraciones.

A continuación se muestran los mismos ejemplos anteriores con esta segunda representación: