Introducción a los Sistemas Dinámicos Curso 2011/2012

Presentación de la asignatura: martes 7 de febrero a las 12:00 en el Seminario del DMA (Bloque I, Planta 3, Seminario 1308)

Breve descripción

Con esta asignatura el alumno aprenderá los conceptos básicos de los Sistemas Dinámicos. Será capaz de implementar algoritmos que permitan visualizar el comportamiento de sistemas dinámicos tanto reales como complejos, y de detectar la existencia de caos. En el caso de los sistemas dinámicos complejos se verán diferentes métodos para generar los conjuntos de Julia y el Conjunto de Mandelbrot.

Programa

1. Sistemas dinámicos unidimensionales
   • Ejemplos de sistemas dinámicos clásicos
   • Dinámica de las aplicaciones lineales unidimensionales
   • Puntos fijos. Bifurcaciones
   • Puntos periódicos
   • El Teorema del punto fijo
   • El Teorema de Sarkovskii
   • Atractores
   • Aplicaciones topológicamente conjugadas
2. Sistemas dinámicos cuadráticos
   • La familia cuadrática
   • La familia logística
   • El diagrama y la constante de Feigenbaum
3. Sistemas dinámicos caóticos
   • El concepto de Caos
   • El sistema dinámico asociado al operador "shift"
   • El sistema dinámico asociado a la "tienda de campaña"
   • El sistema dinámico asociado a la curva logística
   • Exponentes de Lyapunov. Órbitas caóticas
4. Sistemas dinámicos planos
   • Dinámica de las aplicaciones lineales
   • Variedades estables e inestables
   • La aplicación de Arnold
   • La transformación del panadero
   • La herradura de Smale
   • El atractor de Henon
   • Reconstrucción a partir de datos
   • Exponentes de Lyapunov
5. Sistemas dinámicos complejos
   • Nociones básicas de sistemas dinámicos complejos
   • La familia cuadrática
   • Conjuntos de Julia
   • Algoritmos para generar los conjuntos de Julia
   • El conjunto de Mandelbrot
   • Conjuntos de Julia en el conjunto de Mandelbrot
   • Números de rotación. Ángulos internos. Ángulos externos
6. Sistemas dinámicos asociados al método de Newton
   • El método de Newton para R
   • El método de Newton para C
7. Observación sobre estas páginas

Transparencias

1. Sistemas dinámicos unidimensionales (3994kb)
2. Sistemas dinámicos cuadráticos (6920kb)
3. Sistemas dinámicos caóticos (2359kb)
4. Sistemas dinámicos planos (1958kb)
5. Sistemas dinámicos complejos (6467kb)

Tutoriales

• Repaso de derivación (TFC)
• Experimentos con Maple
• Applet curva logística (TFC)
• Applets del método de Newton para R y C (TFC)

Prácticas con Maple

1. Sistemas dinámicos unidimensionales
2. Sistemas dinámicos cuadráticos
3. Sistemas dinámicos caóticos
4. Sistemas dinámicos planos
5. Sistemas dinámicos complejos

Prácticas libres

Existe la opción de hacer prácticas libres, diferentes de las propuestas para Maple, para realizar en un lenguaje de programación a elegir por el alumno.

Exámenes

1. Junio 2002 (95kb)
2. Septiembre 2002 (14918kb)
3. Junio 2003 (29311kb)
4. Septiembre 2003 (7705kb)
5. Junio 2004 (88kb)
6. Septiembre 2004 (70kb)
7. Junio 2005 (243kb)
8. Septiembre 2005 (882kb)

Bibliografía

1. K.T.Alligood, T.Sauer and J.A.Yorke, Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1996.
2. R.L.Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, Addison-Wesley, Redwood City, California, 1989.
3. R.L.Devaney, A first course in chaotic dynamical systems, Addison-Wesley, Redwood City, California, 1992.
4. K.Falconer, Fractal Geometry. Mathematical foundations and applications, John Wiley and Sons, Chichester, 1990.
5. G.W.Flake, The computational beauty of nature, A Bradford book, The MIT Press, Cambridge, 1999.
6. A.Giraldo y M.A.Sastre, Geometría Fractal. Aplicaciones y Algoritmos, Fundación General de la Universidad Politécnica de Madrid, 2000.
7. A.Giraldo y M.A.Sastre, Sistemas Dinámicos Discretos y Caos. Teoría, Ejemplos y Algoritmos, Fundación General de la Universidad Politécnica de Madrid, 2002.
8. M.A.Martín, M.Morán y M.Reyes, Iniciación al caos. Sistemas dinámicos, Editorial Síntesis, Madrid, 1995.
9. H.-O.Peitgen, H.Jürgens y D.Saupe, Chaos and Fractals. New Frontiers of Science, Springer-Verlag, 1992.
10. H.-O.Peitgen y P.H.Richter, The beauty of fractals, Springer-Verlag, Berlin, 1986.
11. M.Romera, Técnicas de los sistemas dinámicos discretos, Consejo Superior de Investigaciones Científicas, Madrid, 1997.
12. I.Stewart, ¿Juega Dios a los dados? La nueva matemática del caos, Grijalbo-Mondadori, 1996 (Ed. inglesa de 1989).
13. D.J.Wright, An Introduction to Fractals and Dynamical Systems.

Profesores

• Carmen Escribano Iglesias
• Antonio Giraldo Carbajo

Normas y Metodología.

Objetivos

Con esta asignatura el alumno aprenderá los conceptos básicos de los Sistemas Dinámicos. Será capaz de implementar algoritmos que permitan visualizar el comportamiento de sistemas dinámicos tanto reales como complejos, y de detectar la existencia de caos. En el caso de los sistemas dinámicos complejos se verán diferentes métodos para generar los conjuntos de Julia y el Conjunto de Mandelbrot.

Normas de evaluación

Hay dos convocatorias de examen: Junio y Septiembre.

Los alumnos tendrán la opción de asistir al Laboratorio y presentar prácticas. En este caso la nota del curso será la media de la nota obtenida en el Laboratorio y la nota del examen final, siendo necesario obtener al menos un 4 en el examen final. En caso contrario la nota será la obtenida en el examen final.

Metodología.

• Clases teóricas.
• Prácticas de laboratorio.