El Conjunto de Mandelbrot
Construcción
El conjunto de Mandelbrot está asociado a los sistemas dinámicos cuadráticos (C , f(z) = z ^2 + c, con c complejo) de la siguiente forma :
A la vista de los diferentes conjuntos de Julia que se van obteniendo asociados al sistema dinámico cuádratico, al elegir distntos valores del parámetro c existe la posibilidad de clasificarlos y ordenarlos según su forma y estructura. La idea de la clasificación se basa en un hecho ya conocido que nos dice que para cualquier calor del parámetro c, el conjunto de Julia asociado puede ser de dos tipos:
- Conexo, es decir formado por una sola pieza.
- Completamente disconexo, es decir, formado por una nube de puntos dispersos, con la misma estructura que los conjuntos de Cantor.
El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de puntos c para los que el conjunto de Julia asociado al sistema dinámico ( C , f(z) = z ^2 + c ) resulta ser conexo.
Para obtener una representación gráfica del conjunto de Mandelbrot, habrá que ir recorriendo los puntos del plano complejo y estudiando la conexión o desconexión del conjunto de Julia asociado a ellos. Cuando el conjunto de Julia de un sistema dinámico cuadrático asociado a un punto c complejo sea conexo, entonces marcaremos este punto de color "negro". Si este proceso lo realizamos para un conjunto de puntos suficientemente denso del plano complejo, habremos obtenido una buena representación del conjunto de Mandelbrot. Para simplificar el probelma de decidir la conexión o desconexión de los puntos de Julia, es suficiente estudiar la orbita de z = 0. Si esta diverge al infinito el conjunto de Julia es totalmente disconexo, y sino diverge es conexo. Para decidir si la órbita diverge o no usamos la teoría de iteracciones que nos dice que una órbita del sitema dinámico ( C , f(z) = z ^2 + c ) diverge a infinito si y sólo si algún punto de la órbita tiene módulo mayor o igual que 2. Esto se basa en un teorema que nos proporciona un método muy preciso y práctico para representar gráficamente con el ordenador el conjunto de Mandelbrot.
Al igual que nos pasaba en la representación gráfica del conjunto de Julia, dependiendo del número de iteracción en el que algunos de los puntos de la órbita tiende a infinito, se van a ir asignando colores alternativos