La Curva de Koch
Construcción
Para la construcción de " La curva de Koch " aplicamos 4 semejanzas:
f 1 (x,y) = ( x / 3 , y / 3 )
f 2 (x,y) = ( ( x * cos(60º) - y * sen(60º) +1 ) / 3 , ( x * sen(60º) + y * cos(60º) ) / 3 )
f 3 (x,y) = ( ( x * cos(60º) + y * sen(60º) ) / 3 + 1 / 2 , ( ( -x ) * sen(60º) + y * cos(60º) ) / 3 + sqr(3) / 6 )
f 4 (x,y) = ( ( x + 2 ) / 3 , y / 3 )
Longitud / Dimensión
Si vamos viendo la longitud de la " Curva de de Koch " para diferentes iteracciones, obtenemos :
Iteracción 1 >> Longitud = 4 / 3
Iteracción 2 >> Longitud = 16 / 9
Iteracción 3 >> Longitud = 64 / 27
Iteracción 4 >> Longitud = 256 / 81
Como podemos ver en esta serie la longitud de la curva tiende a infinito, esto se demuestra analíticamente mediante la siguiente fórmula:
long = p ^ i * f ^ i
Donde:
p = nº de partes = 4
i = nº iteraciones
f = factor de escala = 1/3
También obtenemos que la dimensión de semejanza es:
Ds = log 4 / log 3