El Conjunto de Julia
Construcción
Definición
Dado un sistema dinámico complejo ( C , f ) se define el conjunto de Julia asociado a f , J ( f ) , como el conjunto de sus puntos periódicos repulsivos.
Existen varias técnicas asociadas a cada sistema dinámico (dependiendo de la función f ). Vamos a describir fundamentalmente la determinación de los conjuntos de Julia asociados a los sistemas dinámicos complejos cuadráticos, que son los basados en la función f ( z ) = z ^ 2 + c, siendo c un numero complejo.
Construcción de los conjuntos de julia asociados a la familia cuadrática
Al objeto de encontrar el conjunto de Julia asociado a un sitema dinámico complejo cuadrático :
( C , f (z) = z ^ 2 + c )
con c complejo fijo y arbitrario.
Se efectua el proceso de huída de sus puntos, es decir, se trataría de aplicar iteradamente la función f , siendo z = 0 en la primera iteracción.
En el proceso de iteracción de la función f , se puede observar que existen 2 tipos de puntos en el plano complejo:
- Los más cercanos al origen que convergen a 0.
- Los más alejados, que se dispersan hacia el infinito.
Cada uno de estos dos tipos de puntos constituye una región, y en medio queda una frontera infinitamente delgada, que se conoce como el conjunto de Julia. La órbita de los puntos de ambas regiones se va alejando del conjunto de Julia hacia dentro o hacia afuera. Estos conjuntos de Julia poseen una estructura fractal que cuando con la ayuda de los ordenadores se han hecho visibles, nos han descubierto su gran riqueza y belleza de formas.
En la aplicación real de estos conjuntos a los ordenadores, debido a la capacidad limitada de estos últimos, se va a iterar la función f hasta un número fijo de iteracciones, estimando la tendencia de dichos puntos al infinito en base a un valor umbral prefijado por el usuario. Cuanto mayor sea el número de iteracciones (pudiendo este parámetro ser fijado por el usuario), mayor será la precisión de la representación, así como el coste en volumen de cálculo que conlleva.