La Alfombra de Sierpinski
Construcción
Para la construcción de "La Alfombra de Sierpinski" aplicamos 8 semejanzas:
f 1 (x,y) = ( x / 3 , y / 3 )
f 2 (x,y) = ( x / 3 + 1 / 3 , y /3 )
f 3 (x,y) = ( x / 3 + 2 / 3 , y / 3 )
f 4 (x,y) = ( x / 3 , y / 3 + 1 / 3 )
f 5 (x,y) = ( x / 3 + 2 / 3 , y / 3 + 1 / 3)
f 6 (x,y) = ( x / 3 , y / 3 + 2 / 3 )
f 7 (x,y) = ( x / 3 + 1 / 3 , y / 3 + 2 / 3 )
f 8 (x,y) = ( x / 3 + 2 / 3 , y / 3 + 2 / 3 )
Longitud / Dimensión
Si vamos viendo el área de " La Alfombra de Sierpinski" para diferentes iteracciones, obtenemos :
Iteracción 1 >> Área = 8 / 9
Iteracción 2 >> Área = 64 / 81
Iteracción 3 >> Área = 512 / 729
Iteracción 4 >> Área = 4096 / 6561
Como podemos ver en esta serie el area de la alfombra tiende a cero, esto se demuestra analíticamente mediante la siguiente fórmula:
area = p ^ i * f ^ i
Donde:
p = nº de partes = 8
i = nº iteraciones
f = factor de escala = 1/3
También obtenemos que la dimensión de semejanza es:
Ds = log 8 / log 3