Juegos Numéricos

1. Problemas Clásicos

Adivinando Números

Las propiedades y operaciones de los números a veces parecen casi mágicas.

Problema: Explica por qué puedo adivinar los dos números que has pensado si me dices el resultado de estas operaciones:

  1. Piensa un número.
  2. Multiplícalo por dos.
  3. Súmale 5.
  4. Multiplica el resultado por 5.
  5. Piensa otro número del 0 al 9.
  6. Súmalo al resultado anterior.
  7. Resta 25 al resultado obtenido.

Problema: ¿Cómo se puede justificar que sepa el resultado?

  1. Escribe el año en que naciste
  2. Súmale el año de algún acontecimiento importante de tu vida.
  3. A este súmale los años que tendrás en 2007.
  4. Finalmente, a eso súmale el número de años que van a transcurrir desde que se produjo el acontecimiento importante de tu vida hasta el año 2007.

La respuesta será 4014.

Problema: Dile a alguien que piense un número de 3 cifras y que lo repita para formar un número de 6 cifras. Dile que se lo pase a alguien para que lo divida por 7. Observará que el resto de la división es 0. Dile a éste que le pase el resultado a otro para que lo divida por 11. Este a su vez le pasa el resultado a otro para que lo divida por 13 y que escriba el resultado en un papel. Si ahora abrimos el papel veremos que contiene el número pensado inicialmente. ¿Puedes explicarlo?

Problemas de velocidades.

Problema: Dos muchachos que pasean en bicicleta, se hallan a 20 kilómetros uno del otro. En este momento empiezan a ir al uno hacia al otro, al mismo tiempo que una mosca que está posada en el manillar de una de las bicicletas empieza a volar hacia el otro. En el momento en que llega al manillar de la otra bicicleta da la vuelta y vuelve hacia la primera, y así sucesivamente. Si cada bicicleta se mueve a 10 kmts/h y la mosca a 15kmts/h, ¿qué distancia habrá volado la mosca cuando se encuentren las 2 bicicletas?

Problema: Un pescador que llevaba un gran sombrero de paja estaba remando corriente arriba por un río cuya corriente llevaba una velocidad de 3 kmts/h. En cierto momento el sombrero se le cayó al agua, aunque no se dio cuenta hasta que estuvo a 5 kmts de distancia. En ese momento empezó a remar corriente abajo hasta que los recogió. En aguas quietas la velocidad con la que rema el pescador es de 5 kmts/h, por tanto su velocidad corriente arriba será de 2 kmts/h, mientras que corriente abajo será de 8 kmts/h. Si el pescador perdió su sombrero a las 2 de la tarde, ¿a que hora lo recuperó?

Problema: El Sr. Martínez tiene que hacer un viaje de ida a vuelta a Teruel, y le gustaría llevar una velocidad promedio de 90 kmts/h entre la ida y la vuelta. Tras el viaje de ida, en el que ha hecho muchas paradas, calcula que su velocidad promedio en la ida a sido de 45 kmts/h. ¿A qué velocidad habrá de hacer la vuelta para cumplir su objetivo inicial?

Problema: Un avión vuela de Madrid a Alicante, ida y vuelta. La velocidad del avión, cuando no hay viento, es de 800 kmts/h. Sin embargo, durante los dos trayectos ha habido un fuerte viento de 200 kmts/h en la dirección de Madrid a Alicante. ¿Como afectará ese viento a la duración total del viaje de ida y vuelta?
La respuesta al problema parecería ser que la velocidad del avión se ve aumentada por el viento a la ida en la misma medida en que es disminuida a la vuelta. Por tanto ambas influencias se compensan y el viaje durará igual que si no hubiera habido viento.
Sin embargo, si consideramos el caso extremo de que la velocidad del viento fuera de 800 kmts/h el avión no podría regresar de Alicante y la duración del viaje de ida y vuelta sería infinita.
¿Cómo explicas la discrepancia entre los dos razonamientos?

Problema: El Sr. Martínez llega todos los días a su estación de tren, después del trabajo, a las 5 en punto de la tarde. Allí le recoge su mujer y le lleva en coche a casa. Un día toma un tren anterior, llegando a su estación a las 4 en punto. En lugar de esperar hasta las 5 decide pasear hasta su casa. Por el camino le encuentra su mujer que le recoge con el coche, llegando a su casa 10 minutos antes de lo habitual. ¿Cuánto tiempo caminó el Sr.Martínez?

Problema: Pepe y Pablo hacen footing desde A hasta B. Pepe corre la mitad de la distancia y anda la otra mitad. Pablo corre la mitad del tiempo y anda la otra mitad. Los dos corren a la misma velocidad y los dos andan a la misma velocidad. ¿Quién llega antes?

Problema: Un señor llegó hasta un puente ferroviario y empezó a correr por él. Cuando había recorrido 3/8 del puente oyó el silbato del tren. Calculó inmediatamente: si retrocedo al comienzo llego exactamente en el momento en el que el tren entra en el puente, corriendo a mi velocidad de 10 Km/h y si corro hasta el final a esta velocidad llego allá al mismo tiempo que el tren. ¿A qué velocidad marcha ese tren?


Acertijos con dinero

Los problemas de esta sección están sacados del libro Matemática para divertirse de Martin Gardner publicado por Zugarto Ediciones en 1992 (Versión Original: Entertaining Mathematical Puzzles, Dover Publications, New York, 1986).

Problema: Cuando el Sr. Martínez fue al banco se dio cuenta de que se había quedado en números rojos. sin comprender cómo había sucedido, le explicó al Director del Banco lo siguiente: Inicialmente tenía 100.000 ptas en mi cuenta. Retiré sucesivamente 6 cantidades de dinero que sumaban 100.000 ptas, pero según mis registros únicamente había 99.000 ptas disponibles. Las cifras exactas fueron las siguientes:

Retiros Cantidad que quedaba en depósito
50.00050.000
25.00025.000
10.00015.000
8.0007.000
5.0002.000
2.0000
100.00099.000

Como ve, aparentemente debo 1.000 ptas al banco.
Apreciamos su honestidad, le dijo el Director del banco, pero no nos debe nada.
Entonces, ¿hay algún error en mis cifras?
No, sus cifras son correctas.

¿Puedes explicar cuál es el error?

Problema: "Déme cambio de 100 ptas", dijo el cliente.
"Lo siento", dijo el cajero, "con las monedas que tengo me es imposible".
"¿Puede entonces darme cambio de 50 ptas?"
"Lo cierto es que no puedo darle cambio ni de 50, ni de 25, ni de 10, ni de 5 ptas."
"¿Es que no tiene ninguna moneda?", preguntó el cliente.
Tengo exactamente 125 ptas, contestó el cajero.

¿Qué monedas tiene el cajero?

La asignación de Pepito. Pepito quería que su padre le diera 1000 ptas a la semana, pero su padre se negaba a darle más de 500. Ante la falta de acuerdo Pepito le propuso a su padre: "¿Por qué no ma das 1 pta hoy, 2 ptas la semana que viene, 4 la siguiente, y así sucesivamente?" "Por cuánto tiempo", preguntó si padre. "Solamente hasta mi cumpleaños, después ya negociaremos otra vez".
Si quedan 30 semanas para el cumpleaños de pepito, ¿cuál de las siguientes cantidades crees que se acerca más al dinero que debería recibir Pepito?

1.000 ptas
10.000 ptas
100.000 ptas

Problema: Supongamos que estás negociando el salario con tu Jefe y éste te da a elegir entre 2 ofertas:

  1. 2.000.000 por tu primer año de trabajo y un aumento de 400.000 ptas anuales en los 5 años siguientes.
  2. 1.000.000 por tu primer semestre de trabajo y un aumento de 100.000 ptas cada semestre durante los 5 años siguientes.

¿Qué oferta elegirías y por qué?:

Problema (Reparto Justo): Tres hombres en el desierto tienen 8 panes para comer, el primer hombre no tiene ningún pan, el segundo tiene tres panes y el tercero tiene cinco. Al llegar a un oasis el primer hombre quiere pagar a los otros dos la parte de los panes que él ha comido, toma ocho monedas y da tres monedas al segundo hombre y cinco al tercero.
¿Es justo este reparto?

Problema: Los hermanos Zipi y Zape me encargaron que vendiera en el mercado dos partidas de melones. Zipi me encargó 30 melones que debían ser vendidos al precio de 3 por una moneda de 500 pts; Zape me entregó también 30 melones para los que estipuló un precio más caro: 2 melones por una moneda de 500 pts. Lógicamente, después de efectuada la venta Zipi tendría que recibir 10 monedas de 500 pts y Zape 15. El total de la venta sería pues 25 monedas de 500 pts. Para mayor comodidad, empecé a venderlos en lotes de 5 por 1000 pts: Si tenía que vender 3 por 500 pts y luego 2 por 500 pts, sería más sencillo vender 5 por 1000 pts. Vendidos los 60 melones en 12 lotes de cinco melones cada uno, recibí 24 monedas de 500 pts.
¿Cómo se explica esta diferencia de 500 pts entre lo recibido y lo que se supone que habría que recibir?

Curioso Testamento

Un rico abogado poseía 11 autos antiguos de gran valor. Cuando el abogado murió dejó un curioso testamento. En él pedía que sus 11 coches fueran repartidos entre sus tres hijos. La mitad de los autos debía ser para el hijo mayor; la cuarta parte para el mediano, y la sexta parte, para el benjamín.

Problema: ¿Cómo realizarías este reparto?

Mientras los hijos piensan cómo hacer el reparto se acercó en su deportivo nuevo una famosa especialista en numerología.
Cuando los chicos le contaron su situación, la señora, muy generosa, aparcó su deportivo junto a los otros coches y procedió al reparto dando la mitad del total, o sea, seis, al hijo mayor. El mediano se llevó la cuarta parte de 12, es decir, tres. Y el menor, la sexta parte de 12, o sea dos.
Al terminar el reparto la señora se cercioró de que 6+3+2 = 11. Así que sobra un coche ¡el de ella! ¡Me alegro de haberos sido útil!, les dijo, ¡ya os enviaré la minuta!

Problema: ¿Cómo ha sido posible dicho reparto?

Problema: Supongamos ahora que la herencia constaba de 35 coches que debían repartirse del siguiente modo: para el mayor 1/3 para el mediano y 1/9 para el pequeño. Además, la especialista en numerología quiere como honorarios uno de los coches. ¿Cómo se solucionaría el problema?
Comprueba qué pasaría con las cantidades 53, 71 y este mismo reparto (1/2, 1/3, 1/9).

Problema: Se dispone de un saco con 8 monedas de oro, no todas del mismo valor: hay una que vale 300.000 pts., y las demás tiene un valor de 100.000 pts., 500.000 pts. ó de 1.000.000 pts. Cierto testamento indica que dichas monedas deben ser repartidas, sin ser vendidas, entre cuatro hermanos dando: 1/3 del valor total al hermano mayor, 1/4 al segundo, 1/5 al tercero y 1/6 para el pequeño. Ante el problema de semejante reparto, el abogado que llevaba el caso les propuso lo siguiente: él tenía una moneda de oro por valor de 100.000 pts, que añadió al saco de las 8 monedas y convino que daría a cada uno su parte siempre y cuando él pudiera quedarse con el saco. Los hermanos se aceptaron agradecidos, pues cada uno recibía así monedas por más valor de lo que le correspondía. Al salir del bufete se percataron de que entre todos habían recibido 8 monedas de oro pero ninguno tenía la moneda que valía 300.000 pts. ¿Cuál era el valor total de las 8 monedas? ¿Qué monedas recibió cada uno de los hermanos?.

Problema (Otro testamento): Un rajá dejó a sus hijas cierto número de perlas y determinó que la división se hiciera del siguiente modo: La hija mayor se quedaría con una perla y 1/7 de lo que quedara. La segunda hija recibiría dos perlas y 1/7 de lo restante, la tercera joven recibiría 3 perlas y 1/7 de lo que quedara. Y así sucesivamente. Hecha la división cada una de las hijas recibió el mismo número de perlas.
¿Cuántas perlas había? ¿Cuántas eran las hijas del rajá

Los Cuatro Cuatros

El problema de los cuatro cuatros es el siguiente: Escribir con cuatro cuatros y signos matemáticos una expresión que sea igual a un número entero dado. En la expresión no puede figurar, aparte de los cuatro cuatros, ninguna cifra o letra o símbolo algebraico que suponga letras, tal como: log, lim, etc. Pero si puede usarse la parte entera.
Afirman los pacientes calculadores que será posible escribir con cuatro cuatros todos los números enteros desde 0 hasta 100. A veces será necesario recurrir al signo de factorial ( ! ) y al de la raíz cuadrada. La raíz cúbica no puede ser empleada a causa del índice 3.

Problema: Escribe con cuatro cuatros todos los números del 0 al 100.

Problemas con vasijas

Problema: Un hombre va a una fuente a buscar exactamente 4 litros de agua pero sólo dispone de dos recipientes: un cubo de 5 litros de capacidad y una botella de 3 litros. ¿Cómo puede obtener en estas condiciones exactamente 4 litros?

Problema: Ahora se dispone de un suministro ilimitado de agua, un gran cubo con un desagüe y de dos vasijas que, una vez llenas, contienen exactamente 7 y 9 litros de agua. ¿Cómo se puede, con estos recursos, medir exactamente un litro de agua?

Problema: Tenemos dos vasijas, una vasija A con 10 litros de vino y una vasija B con 10 litros de agua. Tomamos un litro de agua de la vasija A y lo echamos en la vasija B. Tomamos un litro de la mezcla de la vasija B y lo echamos en la vasija A. De la mezcla existente en la vasija A tomamos un litro y lo echamos de nuevo en la vasija B. Continuamos este proceso. Al final de 10 trasvases, ¿habrá más agua en la vasija B que vino en la A, o viceversa? ¿Y si repetimos el proceso infinitas veces?

¿Cómo escapar de una torre?

Este acertijo ha sido extraído del libro The Moscow Puzzles, de Boris A. Kordemsky.
Hace 300 años vivió un príncipe de corazón enfermo y excesivo orgullo. Éste había prometido a su hija en matrimonio a un rico vecino, pero ésta tenía un plan diferente. Enamorada de un lacayo, intentó huir con él a las montañas, pero fueron capturados.
El príncipe decidió ejecutarlos al día siguiente. Los encerró en una alta torre junto con una muchacha, una sirviente que los había ayudado en su fallida huida.
Mirando por la ventana, observaron que era imposible saltar y sobrevivir. Sin embargo, había una cuerda, colgando de una polea, en cuyos extremos había sendas cestas. Éstas habían sido utilizadas en el pasado para subir ladrillos y bajar escombros. También había en la torre 13 trozos de cadena de unos 5 kilogramos cada uno.
Los prisioneros dedujeron que si una de las cestas llevaba una carga superior en cinco kilogramos a la otra, la más pesada descendería suavemente al suelo a la vez que la otra ascendía hacia la ventana.

Problema: Sabiendo que los pesos de los prisioneros eran, respectivamente, de 90, 50 y 40 kilogramos, ¿cómo podrían escapar de la torre? En ningún momento una cesta en descenso puede pesar 5 kilogramos más que la otra. ¿Cuántas veces han bajado las cestas?

El Problema de Josephus

Josephus Flavius fue un famoso historiador judío de la primera centuria (37-100). Cuentan que durante la guerra de los judíos y los romanos, él se quedó atrapado, con otros cuarenta soldados judíos, en una cueva asediada por los romanos y sin una posible vía de escape.
La leyenda dice que, prefiriendo suicidarse a ser capturados, los soldados decidieron matarse entre ellos, pero Josephus y un amigo suyo no estaban de acuerdo. Para sobrevivir Josephus sugirió que se procediera del siguiente modo:
Todos ellos debían colocarse en círculo, numerándose del 1 al 41, y empezando a contar por el primero toda tercera persona sería asesinada hasta que sólo quedara una persona que debería suicidarse. Josephus salvó su vida y la de su amigo colocándose en el lugar 31 y 16 respectivamente.

Problema: Comprueba que las dos últimas personas que quedaron fueron Josephus y su amigo.

Problema: A una fonda llegó a comer un batallón de soldados hambrientos, que se sentaron en una gran mesa redonda a la que invitaron al dueño. A la hora de pagar propusieron el siguiente juego: Empezando a contar por el que presidía la mesa, toda segunda persona quedaría exenta de pago y podría irse. La cuenta la pagaría por tanto el último que quedara sentado a la mesa.
Con los siguientes datos, y suponiendo que en la mesa hay sentadas en total N personas, calcula, como función de N, el lugar R donde sentarías al dueño del local para que sea él quien quede al final sentado a la mesa.

N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
R 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 9 11 13 15 1 3 5 7 9

Problema: Un hombre tenía cuatro hijos, dos de una primera esposa que murió, y otros dos de su segunda esposa. Acordaron dejar toda la herencia a uno sólo de los hijos y para ser ecuánimes en la elección la mujer sugirió el siguiente juego: Los cuatro hijos se dispondrían en círculo numerándose del uno al cuatro, y empezando a contar por el primero saldría del círculo todo aquel que fuera múltiplo de un cierto número N. La esposa colocó a los chicos de la siguiente forma: P S S P y ocurrió que los dos primeros eliminados fueron justamente los hijos de la primera esposa. ¿Sabrías decir qué número es N?

Problema: ¿Que número es N si en el problema anterior los primeros eliminados son los hijos de la segunda esposa?

Problema: Obtén un valor de N para que en la siguiente lista

P S P P S P S S

sean eliminados en primer lugar todos los P, y otro valor para que en primer lugar sean eliminados todos los S.


2. Falacias

En los siguientes problemas explica dónde está el error:

Problema: Uno igual a dos:
Sea a = b, entonces:
ab = a2,
ab-b2 = a2-b2
b(a-b) = (a+b)(a-b)
b = a+b
b = 2b
1 = 2

Problema: Uno igual a cero.
(n+1)2 = n2+2n+1
(n+1)2-(2n+1) = n2
(n+1)2-(2n+1)-n(2n+1) = n2-n(2n+1)
(n+1)2-(n+1)(2n+1) = n2 -n(2n+1)
(n+1)2-(n+1)(2n+1)+(2n+1)2/4 = n2-n(2n+1)+(2n+1)2/4
[(n+1)-(2n+1)/2]2 = [n-(2n+1)/2]2
(n+1)-(2n+1)/2 = n-(2n+1)/2
n+1 = n
1 = 0

Problema: Cuatro igual a cero.
cos2(x) = 1-sen2(x),
1+cos(x) = 1+(1-sen2(x))1/2; elevando al cuadrado ambos miembros,
(1+cos(x))2 = (1+(1-sen2(x))1/2)2; particularizando para x = p,
(1-1)2 = (1+(1-0)1/2)2
0 = (1+1)2 = 4.

Problema: Uno igual a menos uno.
(-1)2 = 1 (tomando logaritmos) 2ln(-1) = ln1 = 0 ln(-1) = 0 -1 = e0 -1 = 1.

Problema: ¿Qué es lo que falla en este razonamiento?

x2 = x x = x + + x
Derivando en los dos miembros de la igualdad se tiene:
2x = 1 + + 1 = x 2x = x 2 = 1


3. Cuadrados Mágicos

Vamos a comenzar este tema estudiando dos juegos de dos jugadores, muy sencillos y que se relacionan entre si de una manera sorprendente.

En los dos casos la pregunta es la siguiente:

Problema: Si ambos jugadores adoptan estrategias óptimas, ¿gana el primero, el segundo o hay empate?

Problema: En la siguiente figura:

coloca los números del 1 al 9, cada uno en una casilla, de modo que los de la misma línea sumen lo mismo.

Decimos que un cuadrado mágico es de orden n si es una disposición cuadrada de n2 números consecutivos, el primero de los cuales es el 1, de modo que la suma de cualquier fila, columna o diagonal es constante. A esta constante la llamamos constante mágica.

Un cuadrado mágico de orden n está formado por los números 1, 2, 3, ..., n2. Por tanto, la suma de todos ellos es S=1+2+3+...+(n2-2)+(n2-1)+n2, que también se puede poner como S=n2+(n2-1)+(n2-2)+...+3+2+1. Luego 2S = n2 (n2+1) y por tanto S=n2 (n2+1)/2.
Si la constante mágica es x, como hay n columnas tendremos que nx=n2(n2+1)/2 y por tanto la constante mágica de un cuadrado mágico de orden n será n(n2+1)/2.

Problema: ¿Es posible encontrar un cuadrado mágico 2x2?

Problema: Intentar construir un cuadrado mágico de orden 3 esencialmente diferente al obtenido en el juego "Suma 15".

Para construir cuadrados mágicos de orden impar n, Louberre desarrolló el siguiente método:
  1. Se dibuja el cuadrado dividido en nxn celdillas. Se dibujan una fila superior y una columna derecha más, y se sombrea la celdilla añadida situada en el vértice superior derecho.
  2. Se sitúa el 1 en el centro de la segunda fila (primera en el cuadrado original).
  3. El siguiente número se coloca en la celdilla superior derecha de donde estamos situados excepto:
    1. Si nos salimos del cuadrado original volvemos a él yendo al extremo opuesto.
    2. Si vamos a una casilla ocupada se continúa por la casilla situada debajo de la que se escribió el último número. La casilla sombreada, se considera como si estuviera ocupada.
Aplicado al caso anterior, este método nos proporciona el siguiente cuadrado mágico de orden 3.

       
8 1 6  
3 5 7  
4 9 2  

Problema: Construye un cuadrado mágico de orden 5.

El método anterior no sirve obtener cuadrados mágicos de orden n con n par. Para estos casos se utiliza el método de inversión de las diagonales.
Vamos a aplicarlo al cuadrado mágico de orden 4.
Su constante mágica es 4(4.+1)/2=34. Empezamos dibujando el siguiente cuadrado más simple.

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16

Es fácil observar que las diagonales poseen la suma requerida. Sin embargo, la suma de las filas superiores es demasiado pequeña, mientras que la suma de las filas inferiores es demasiado grande. De igual forma la suma de las primeras columnas es demasiado pequeña, y la de las dos últimas es demasiado grande. Esto sugiere que debemos mantener constante la suma de las diagonales intercambiando los números de las mismas desde la parte superior a la inferior y, simultáneamente, de derecha a izquierda. A una transformación como esta la llamamos inversión de las diagonales. El resultado es el siguiente cuadrado mágico de orden 4:

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

Este no es el único cuadrado mágico de orden 4 que se conoce. Se pueden formar 880 cuadrados mágicos de orden 4 distintos y al menos trece millones de orden 5. Es muy poco lo que se sabe acerca del número exacto de cuadrados mágicos de orden n que se pueden construir.

Otros cuadrados mágicos de orden cuatro pueden ser:

4 5 14 11 3 2 15 14
1 15 8 10 13 16 1 4
16 2 9 7 10 11 6 7
13 12 3 6 8 5 12 9

Problema: Obtener un cuadrado mágico de orden 6.

Uno de los problemas más antiguos de la matemática recreativa es averiguar qué camino debe seguir un caballo de ajedrez para recorrer una y sólo una vez todos los cuadros del tablero. La solución dada por Euler en el s.XVIII es la siguiente:

1 48 31 50 33 16 63 18
30 51 46 3 62 19 14 35
47 2 49 32 15 34 17 64
52 29 4 45 20 61 36 13
5 44 25 56 9 40 21 60
28 53 8 41 24 57 12 37
43 6 55 26 39 10 59 22
54 27 42 7 58 23 38 11

Esta solución es un cuadrado mágico de orden 8. Es interesante ver cómo se mueve el caballo por cada uno de los cuatro cuadrados 4x4 que forman el cuadrado total. Cada uno de estos cuadrados es a su vez "mágico" con constante mágica 130.

Ampliamos ahora la definición de cuadrado mágico a lo siguiente: Un cuadrado mágico genérico de orden n es una cuadrícula nxn en el que se distribuyen n2 números distintos de modo que todas sus filas, columnas y diagonales den la misma suma.

Problema: Completa los siguientes cuadrados y calcula su constante mágica:

6         10 14 3   11 1  
7 5 3   7       13 9   7
      4   5 8 15     15 5

Problema: Construye un cuadrado mágico con los 9 primeros números pares y constante mágica 30.

Problema: Se eligen tres números a, p, q. A partir de ellos se obtienen los siguientes nueve números:

a a+p a+2p
a+q a+p+q a+2p+q
a+2q a+p+2q a+2p+2q

Los números obtenidos por filas, se colocan por este orden, en el lugar 1, 2, ..., 9 del cuadrado mágico básico de orden 3. Estudiar si se obtiene siempre un cuadrado mágico de orden tres.

Problema: Con las seis fichas siguientes de dominó:

consideramos un conjunto de 8 fichas repitiendo dos fichas distintas cualesquiera. Se trata de ordenar estas 8 fichas en un cuadrado 4x4, para que formen un cuadrado mágico de orden 4.


4. El Nim y otros juegos de fichas

Existen muchos juegos con fichas que están programados para que los ordenadores los puedan jugar... y ganar. Aquí tienes algunos ejemplos:

Scoring

Problema: Se colocan un montón de 50 fichas. Cada jugador debe coger, por turno, 1, 2 ó 3 fichas. Gana quien se lleve la última ficha. ¿Se te ocurre alguna estrategia para ganar?

Problema: ¿Cuál será la estrategia para ganar si en el juego anterior pierde el que se lleva la última ficha?

Problema: El siguiente es un juego conocido ya en la edad media, consiste en lo siguiente: El primer jugador (A) dice un número n1 tal que 0 < n1 £ 6, el segundo (B) piensa un número n2 con 0 < n2 £ 6, y dice s2=n1+n2, a continuación el jugador A, piensa un número n3 con 0<n3 £ 6, y dice s3=s2+n3 y así sucesivamente. Gana el primero que diga 50. ¿Puedes encontrar una estrategia ganadora?, ¿Quién gana?, ¿Qué ocurre si en cada paso sumamos un número ni tal que 0 < ni £ m y gana el primero que diga P (P>m)?

Problema: ¿Qué ocurre si en los problemas anteriores hay 2 o mas montones, pudiéndose retirar fichas únicamente de un solo montón cada vez? ¿Se te ocurren casos particulares con estrategia ganadora para alguno de los jugadores?

El Nim

El Nim (quitar o retirar) es un juego para dos personas que consiste en lo siguiente: Se reparten una serie de fichas entre un número arbitrario de filas. Un ejemplo de distribución puede ser la siguiente en cuatro filas:

            J
        J J J
    J J J J J
J J J J J J J

Cada jugador, al llegarle su turno, puede retirar tantos elementos como quiera, siempre y cuando todos los elementos procedan de la misma fila. Gana la persona que retira la última ficha.

Problema: Jugando al Nim con la distribución de fichas dada, comprueba qué ocurre si, siendo el segundo jugador, sigues la siguiente estrategia: "Al escribir en base dos el número de fichas que dejas en cada fila, alineándolos a la derecha, todas las columnas tienen un número par de unos."

Problema: ¿Qué ocurre con la estrategia planteada en el problema 4 si variamos el número de fichas y de filas?

Problema: ¿Qué pasa si en el Nim pierde el que se lleva la última piedra?

Turning turtles

Tenemos una sucesión de cruces y círculos, de longitud cualquiera, como la siguiente:

O X X O X X O O X O X

En cada movimiento cada jugador escoge una "O" y la cambia por "X". Al mismo tiempo puede, si lo desea, cambiar una letra ("O" a "X" o "X" a "O") en cualquiera de los lugares a la izquierda de la cambiada anteriormente. El jugador que hace el último movimiento gana.

Problema: Este juego es Nim disfrazado. ¿Sabrías hallar la equivalencia con el Nim?