Juegos Geométricos

1. Problemas Clásicos

Problemas de Geodésicas

El camino más corto

Problema: Supongamos que tenemos que llevar agua de un punto A a un punto B, pasando previamente por un río para recogerla.

¿Cuál es el camino más corto para realizar esta tarea?

Billares

Problema: Supongamos ahora que, en una mesa de billar, queremos golpear la bola B con la bola A, realizando previamente tres carambolas.

¿Cómo determinarías la dirección en que has de golpear la bola A?

La mosca y la araña

Problema: En un cuarto de 30 pies de longitud, 12 de ancho y 12 de altura hay una araña en el centro de una de las paredes menores, a un pie del cielo raso, y también hay una mosca en el medio de la pared opuesta, a un pie del piso.

La araña pretende alcanzar la mosca. Si se pone en marcha en línea recta descendiendo por la pared, luego en línea recta a lo largo del piso y ascendiendo luego, también en línea recta, por la otra pared, o bien siguiendo una ruta análoga pasando por el cielo raso, la distancia a recorrer es de 42 pies.

Da la impresión de que es el menor recorrido, pero no es así. ¿Cuál es la ruta más corta posible según la cual la araña puede arrastrarse para alcanzar su presa?

Maneras de anudarse los cordones de los zapatos

Problema: Existen múltiples maneras de anudarse los cordones de los zapatos. Entre estas podemos diferenciar 3: la manera europea, la manera americana y la manera en que los suelen anudar en las zapaterías:

¿Sabrías decir cual de éstas requiere los cordones más largos, y cuál necesita menos? ¿Te atreverías a conjeturar cuál es, de entre todas las maneras posibles de anudarse los cordones, la que necesita los cordones menos largos?

Problemas de recubrimientos

Consideremos un tablero de ajedrez (64 cuadros). Es claro que el tablero puede ser recubierto con fichas rectangulares de tamaño 21.

Problema: ¿Sigue siendo esto cierto si suprimimos del tablero las dos últimas casillas? ¿Y si suprimimos en su lugar las dos esquinas de esta última fila?

Problema: ¿Y si suprimimos en su lugar dos esquinas diametralmente opuestas del tablero? ¿Y si se suprimen cuadros cualesquiera del mismo color?

Problema: ¿Y si se suprimen dos cuadros cualesquiera de distinto color?

Problema: ¿Se puede generalizar lo anterior a tableros cuadrados de cualquier tamaño?

Problema: Si suprimimos una sola casilla en el tablero de ajedrez, ¿se puede recubrir el resto con fichas de tamaño 31?

Problema: Dado un tablero de tamaño 44, se suprime una casilla. ¿Se puede recubrir el resto con fichas en forma de L formadas por 3 cuadrados? ¿Y en el caso de que el tablero sea 2n2n?

Problema: Si pegamos cuatro cuadrados por sus lados de todas las formas posibles obtenemos las siguientes figuras:

Estas figuras se llaman tetrominós y son, salvo rotaciones y reflexiones, las únicas figuras posibles obtenidas en las condiciones anteriores. Entre todas suman 20 cuadrados. ¿Será posible recubrir con ellas un rectángulo 4x5?


2. Razón áurea y aplicaciones

La razón áurea

Dado un segmento AB,

se trata de encontrar C entre A y B tal que la razón de AB a AC se igual que la razón de AC a CB. A esta razón se le llama razón áurea, y la denotaremos por f (de Phidias).
Para conocer el valor de la razón áurea, podemos considerar la longitud de CB igual a 1. Así, se tendrá f=AC. Sustituyendo en AB/AC=AC/CB se tiene (f+1)/f=f/1 y operando, f2-f-1=0 y por tanto, f=1.6180339887498948482045868343656381177203...
Si hubiéramos tomado como 1 la longitud AC habríamos obtenido f=AB y CB=1/f=0.61803....=1-f.

Como f verifica la igualdad f=1+1/f, siempre podemos reemplazar f por 1+1/f. En particular, si sustituimos f en el miembro derecho de la igualdad anterior obtenemos f=1+1/(1+1/f). Si iteramos este proceso indefinidamente obtenemos la siguiente expresión

      f = 1 +         1          
                  1 +      1     
                      1 +    1   
                          1 + ···
de f como fracción continua.
La expresión anterior nos permite obtener aproximaciones racionales de f. En particular, obtenemos las siguientes aproximaciones: en donde aparecen los sucesivos cocientes entre términos sucesivos de la sucesión de Fibonacci.

Problema: Demostrar que la sucesión de aproximaciones que obtenemos es precisamente la sucesión de cocientes entre términos sucesivos de la sucesión de Fibonacci.

Problema: Obtener otra expresión para f a partir de la igualdad f2=f+1.

Un rectángulo áureo es aquél en el que la razón de las longitudes de sus lados es f. Para construir un rectángulo áureo basta dibujar un cuadrado y marcar el punto medio de uno de sus lados. Si unimos este punto con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, obtenemos el lado mayor del rectángulo.

Problema: Demostrar que el anterior es efectivamente un rectángulo áureo.

Los rectángulos áureos han sido utilizados en arquitectura desde tiempos de los griegos. El ejemplo más famoso quizás sea el Partenon de Atenas.
Más recientemente, Le Corbusier utilizó frecuentemente rectángulos áureos en el diseño de sus edificios. Un ejemplo es el Edificio de la ONU en Nueva York que además tiene marcas distintivas lo dividen de nuevo según la razón áurea.

Un rectángulo áureo tiene la propiedad de que se puede dividir en un cuadrado y un rectángulo de manera que este último es también un rectángulo áureo. Este nuevo rectángulo puede ser a su vez dividido en un cuadrado y un nuevo rectángulo áureo. Si iteramos este proceso indefinidamente dibujando arcos de circunferencia en los cuadrados que vamos obteniendo, se obtiene una espiral áurea cuyo centro está en la intersección de las dos diagonales dibujadas en azul.

En realidad esta curva no es una espiral puesto que está formada por arcos de circunferencia pegados. Es una aproximación de una espiral logarítmica. Vamos a intentar ver cuál. Observamos que cada rectángulo (o cuadrado) es semejante al inmediatamente inferior en tamaño pero f veces mayor (y rotado 90 alrededor del centro de la espiral). Por tanto un giro de 90 compuesto con una homotecia de razón f dejaría invariante la espiral. En coordenadas polares esta transformación es h(r,q)=(fr,q+p/2).
Por tanto, una posible ecuación de la espiral sería r=ft y q=t·p/2 (rotada convenientemente). Eliminando t en ambas ecuaciones obtenemos r=f2q/p=(f2/p)q.
Esta espiral ya no es tangente a los cuadrados sino que los corta, aunque con ángulos muy pequeños.

La espiral logarítmica es el único tipo de espiral que mantiene su forma al ser reescalada. Este hecho explica porque existen numerosas formas en la naturaleza que siguen esta pauta; por ejemplo, semillas de flores como el girasol y conchas. Por otra parte, los fenómenos de crecimiento biológico presentan frecuentemente pautas relacionadas con la sucesión de Fibonacci. Éstas aparecen, por ejemplo, en distribuciones de hojas alrededor de tallos o de pétalos en flores. Ya habíamos destacado la relación con los números de Fibonacci (¿sabrías encontrar una sucesión de Fibonacci en la espiral áurea?).

Otra espiral logarítmica puede obtenerse a partir de un triángulo isósceles de ángulos 36 72 72. Es fácil ver que AB/BC=f. Se dice entonces que es un triángulo áureo.

En ABC, si bisecamos el ángulo en B obtenemos dos triángulos: DAB y BCD. El primero cumple que AB/AD=f y por tanto es un triángulo áureo. El segundo de ellos es semejante al original y por tanto también lo es. Si en este triángulo bisecamos el ángulo en C, obtenemos CDE también semejante a los dos anteriores. Continuando este proceso se obtiene una sucesión espiral de triángulos que converge a un punto situado en la intersección de dos medianas de los dos primeros triángulos.

El triángulo anterior es la base del pentagrama escogido como símbolo por los pitagóricos.

Problema: Hallar en el pentagrama pares de segmentos que estén en razón áurea.

La rana saltarina

Se tiene una cuadrícula de cuadros en los que quepa una ficha, y señalada a la mitad por una recta horizontal más gruesa:

                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       

Se coloca al principio un número cualquiera de fichas (todas iguales) distribuidas de cualquier forma, cada una en algún cuadro de los de debajo de la raya gruesa. Se empieza a mover y retirar fichas del tablero de la siguiente forma: Se pueden mover sólo horizontalmente y verticalmente, saltando por encima de otra contigua, siempre que el cuadro al que se salta esté vacío, y se retira la ficha sobre la que se ha saltado. Así por ejemplo, de la situación

J J  

se puede pasar a la siguiente

    J

Problema: ¿Cuál es el mínimo número de fichas que se necesita tener al comienzo para poder llegar con alguna a la primera fila por encima de la línea gruesa? ¿Y a la segunda?

Problema: ¿Es posible llegar a la tercera fila ? ¿Y a la cuarta?

Problema: ¿Es posible llegar a la quinta fila?

Problema: Demostrar que el número mínimo de fichas para llegar a la tercera fila es 8, y para llegar a la cuarta es 20.

Problema: ¿Se puede llegar a las siguientes situaciones?

J J J J        
        J J J J
               
               

Si la respuesta es afirmativa, ¿cómo?


3. Falacias

Falacia geométrica clásica

El cuadrado de la figura

se corta en las cuatro piezas indicadas.
Éstas pueden colocarse tal como se ve en la segunda figura,

que es un rectángulo:
Como el área del rectángulo es 5 x 13 = 65 cm2; y la del cuadrado es 8 x 8 = 64 cm2, tenemos que 64 = 65.
Imposible ¿verdad?

Problema: ¿Dónde está el error?

Problema: Demostrar que si se toman tres números consecutivos de la sucesión de Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,.... la diferencia de áreas siempre es de una unidad, es decir,

un2=un+1un-1±1.

Problema: Demostrar que la serie:

1, f, 1+f, 1+2f, 2+3f, 3+5f, ...

es, esencialmente, la única serie aditiva en la que al tomar las figuras con tres términos sucesivos, las áreas resultantes son iguales.

Consideramos ahora el cuadrado

Si ahora cortamos las piezas indicadas, éstas pueden colocarse tal como se ve en la segunda figura,

Ambos son cuadrados de igual área. Sin embargo el segundo cuadrado superior tiene un agujero de 1cm2.

Problema: ¿Dónde está ahora el error?

El enano perdido

Consideramos los enanos de la figura

Si ahora cortamos las piezas indicadas, éstas pueden colocarse tal como se ve en la segunda figura,

Ha desaparecido un enano.

Problema: ¿Dónde está?


4. Juegos

Primero veremos dos juegos topológicos que hacen uso del teorema de Jordan que demuestra que una curva cerrada y simple divide al plano en dos regiones, una interior y otra exterior.
Antes veremos un acertijo de H.E.Dudeney (1847-1930), que tiene que ver con este mismo teorema.

El misterio de Ravensdene Park

El 17 de Febrero, a las 11 de la noche cayó una fuerte nevada y aunque sólo duró media hora, la tierra quedó cubierta de una gruesa capa de nieve. El señor Hastings había pasado la velada en casa de un vecino y salió a media noche para dirigirse a su hogar. Iba a pie y tomó el camino más corto, a través de Ravensdene Park, desde el portón D al A.

A la mañana siguiente fue hallado muerto, en el punto señalado con un asterisco, apuñalado en el corazón. Los siete portones fueron clausurados y se examinaron las pisadas en la nieve. De éstas la policía obtuvo los siguientes datos:

La noche había sido de mucha niebla y algunos de los caminantes habían seguido recorridos muy sinuosos, pero es de destacar que ningún recorrido pasaba sobre otro. La policía estaba segura de este hecho, pero nadie hizo un croquis de estos recorridos antes de que la nieve se derritiera.
¿Sabrías deducir quién fue el autor del crimen?

Drago

Este juego fue creado en una tarde del martes 21 de febrero de 1967 por John Horton Conway, profesor de matemáticas en el Sidney Sussex College, Cambridge, y Michael Stewart Paterson, estudiante graduado que trabajaba en la misma universidad sobre teoría abstracta de programación de ordenadores.
El juego comienza dibujando n puntos sobre una hoja de papel (por ejemplo, se puede empezar colocando 3 ó 4 puntos en el plano). Un movimiento consiste en trazar una línea que una un punto con otro o consigo mismo y luego trazar sobre ella, en cualquier lugar, un nuevo punto. Deben observarse las siguientes restricciones:

  1. La línea puede tener cualquier forma pero sin cortarse a sí misma, cruzar otra ya dibujada, ni pasar por un punto previamente dibujado.

  2. De ningún punto podrán salir más de tres líneas. (Por tanto, de los puntos que se dibujan sobre una línea sólo puede partir una línea más).

Gana la última persona capaz de mover. Si se juega a la inversa, gana el primer jugador que no puede mover.

Problema: Una partida de Drago que comienza con n puntos ¿Puede llegar a no terminar? ¿Tiene que terminar necesariamente después de un número finito de movimientos?

Problema: Demostrar que cualquier partida puede durar al menos 2n movimientos.

Problema: En una partida de drago jugada con dos puntos ¿Gana el primero o el segundo jugador?

Conway encontró que el primer jugador puede ganar siempre en el juego normal de tres puntos, y el segundo en la versión inversa. Denis P. Mollison, un estudiante de matemáticas de Cambridge, ha mostrado que el primer jugador tiene las de ganar en los juegos normales de cuatro y cinco puntos y posteriormente, en un artículo de 49 páginas probó que el segundo jugador gana en un juego normal de seis puntos. Un análisis completo del juego de ocho puntos parece estar más allá de las posibilidades de los computadores actuales.
No hay formulada una estrategia para jugar correctamente al Drago, pero al final de la partida se puede ver a menudo cómo trazar curvas cerradas que dividan el plano en regiones de tal manera que se consiga el triunfo. Pero al parecer, no hay ninguna estrategia que conduzca a una victoria segura.

Coles de Bruselas

Las coles de Bruselas fue un juego que inventó posteriormente Conway, aparentemente similar al Drago.
El juego comienza con n cruces en lugar de puntos. Un movimiento consiste en prolongar un brazo cualquiera de una cruz cualquiera, formando una curva que termine en la misma cruz o en el brazo libre de cualquier otra. A continuación se traza una nueva barra transversal en cualquier lugar a lo largo de la curva, creando así una nueva cruz.

  1. Al igual que el drago ninguna curva puede cortarse a sí misma ni a ninguna otra que se haya trazado previamente, ni puede pasar por una cruz ya dibujada.

  2. De cada cruz sólo pueden salir cuatro curvas (y por tanto las cruces añadidas sólo tendrán dos vidas).

El ganador del juego normal es la última persona en jugar. Si se juega a la inversa, el ganador es la primera persona que no puede hacer movimiento.

En las Coles de Bruselas, es cada movimiento se matan dos vidas y se añaden otras dos, sin embargo el juego siempre tiene fin, un juego que comienza con n cruces acaba siempre exactamente a los 5n-2 movimientos.

Problema: Demostrar que un juego que comienza con n cruces acaba a los 5n-2 movimientos exactamente.

Problema: En una partida que comienza con n cruces ¿Gana el primero o el segundo jugador?

Es imposible jugar bien o mal este juego, ya que cada partida que comienza con n cruces debe acabar exactamente a los 5n-2 movimientos. Por tanto, las Coles de Bruselas es un juego falso a pesar de que en apariencia parece una versión más complicada y elaborada que el Drago.

Chomp o tragón

Es éste un juego para dos jugadores, que se juega en un tablero rectangular, en principio de cualquier dimensión. El primer jugador selecciona uno cualquiera de los cuadros del tablero y lo elimina, eliminando también todos los cuadrados que están encima y a la derecha de él. Así, si tenemos el siguiente tablero:

           
           
           
           

y el primer jugador selecciona el cuadrado negro, eliminará éste y todos los azules:

           
           
           
           

El segundo jugador hace lo mismo, y así sucesivamente. El jugador que elimina el cuadrado inferior izquierdo pierde la partida.

Problema: ¿Existe alguna estrategia ganadora para alguno de los jugadores, si el tablero es cuadrado?

Problema: ¿Existe alguna estrategia ganadora si el tablero es un rectángulo n2?

Problema: ¿Existe alguna estrategia ganadora si el tablero es un rectángulo 2? ¿y si es n, con n>2 ?

Problema: ¿Existe alguna estrategia ganadora para cualquier tablero finito?