Recubrimientos con pentominós

Son configuraciones que cubren adyacentemente cinco cuadros de un tablero de ajedrez. En total son doce (entre todos suman sesenta cuadros) ya que no se consideran rotaciones ni imágenes especulares como distintos.

Una manera de nombrarlos es la representada a continuación:

Aunque en los siguientes apartados se comentan propiedades interesantes y nociones de recubrimientos de tableros con este tipo de poliominós no hay una fórmula para recubrirlos, siendo esto principalmente una cuestión de ingenio.

No obstante es en esta teoría en la que me he basado para el desarrollo del ejecutable de poliominós y puede ser de ayuda a la hora de resolver alguna de las configuraciones que allí se presentan.

Los recubrimientos más interesantes con pentominós son los de algunas configuraciones de tableros que pueden ser recubiertas con un solo uso de cada uno de los 12 pentominós. Evidentemente estos tableros suman 5 cuadros/pentómino x 12 pentominós =60 cuadros.

Los diferentes tableros rectangulares de 60 cuadros son de 1x60, 2x30, 3x20, 4x15, 5x12 y 6x10.

Por razones obvias los rectángulos de 1x60 y 2x30 no pueden ser recubiertos con pentominós (considérese por ejemplo el x-pentominó).

En contra de lo que podría parecer el rectángulo de 3x20 puede ser resuelto pero es sin duda el más difícil pues tiene sólo dos soluciones.

El número de soluciones diferentes para estos rectángulos es:

Dimensiones

Nº de soluciones

3x20

2

4x15

368

5x12

1.010

6x10

2.339

 

Un tablero de ajedrez normal también puede ser recubierto siempre que se tapen las cuatro esquinas o que se tape un cuadrado de 2x2 que puede estar situado en cualquier parte del tablero.

Este último caso ha sido especialmente estudiado.

Así se sabe que hay más de 100.000 soluciones distintas para este tipo de configuraciones. Con el cuadrado de 2x2 en el centro del tablero se hallaron 65 soluciones distintas (sin contar las que son resultado de rotar o invertir las piezas).
De estas 65 soluciones se vio, por ejemplo, que no es posible recubrir el tablero si el I-pentómino no tenía un lado ‘largo’ adyacente a una de las caras del tablero.

Para conseguir una de estas soluciones lo primero es colocar el L-pentominó adyacente al cuadrado de 2x2 restringido para formar un cuadrado de 3x3.

Algunos de los rectángulos comentados y otras configuraciones similares son las que se incluyen en la galería de tableros del applet.

Sin considerar soluciones distintas las que difieren tan solo en rotaciones o reflexiones de alguna de las piezas que componen el recubrimiento se pueden encontrar para algunos tableros un cierto numero de ellas basadas en las llamadas combinaciones simétricas.

Las siguientes figuras muestran como con la combinación del V, Z y N pentominó puede ser recubierto el mismo área de formas distintas.

Es más, existe otra combinación con otros tres diferentes pentominós (X, U y L pentominó) que recubre exactamente el mismo área que el expuesto en las figuras anteriores.

Obviamente estas formas o trozos de tablero recubiertos con grupos de pentominós pueden ser intercambiadas para encontrar dos soluciones distintas.

Otra curiosidad es la propiedad que cumplen el F y N-pentominós.

Estas dos piezas pueden recubrir el mismo área combinadas de distinta manera.

Sólo la combinación L y P tienen esta misma propiedad.

Así con este tipo de combinaciones simétricas en el rectángulo de 4x15, por ejemplo, se pueden encontrar hasta 18 combinaciones relacionadas.

Información más detallada acerca de cómo conseguir una solución puede encontrarse en la bibliografía citada en el presente trabajo.

Los pentominós tienen además algunas curiosas propiedades.

La primera de ellas que cumplen los pentominós es que cualquiera de ellos puede ser construido a escala (triplicando el tamaño) usando nueve de los restantes pentominós.

En la siguiente figura se muestran dos ejemplos de pentominós escalados así como las soluciones posibles para cada uno de los pentominós que se pueden formar a escala 1:3.

Pentominó

Soluciones

F-pentominó

125

I-pentominó

19

N-pentominó

68

P-pentominó

497

T-pentominó

106

U-pentominó

48

V-pentominó

63

W-pentominó

91

X-pentominó

15

Y-pentominó

86

Z-pentominó

131

L-pentominó

113

 

También uno puede hacer que el espacio entre dos pentominós llegue a ser uno de los otros pentominós.

La siguiente figura muestra un ejemplo de como el espacio entre los pentominós F y X es el W-pentominó.

Además los pentominós no son sólo piezas de un puzzle, componen un alfabeto completo en el que están representadas todas las variaciones de cinco cuadrados adyacentes posibles.

Los 12 pentominós se pueden conseguir a partir de uno de ellos moviendo uno de los cinco cuadros a otra posición en un círculo sin fin.

 

Otra interesante propiedad es la siguiente:

Se puede crear una determinada forma usando dos pentominós cualesquiera.

Si puedes construir esa misma forma otra vez con otros dos pentominós, entonces con las 8 piezas restantes se puede construir dicha forma escalada al doble.

Una pregunta, ¿tienen todos los pentominós el mismo perímetro?

Píenselo un instante.

Partiendo del I-pentominó (doce unidades de perímetro) y de la anterior en la que se representa el alfabeto de poliominós podemos ir en dirección hacia la derecha viendo cómo se cumple la igualdad en el perímetro.

Así el L-pentominó tiene también doce unidades. Sucede lo mismo con el U-pentominó.

Es lógico, pues se pasa del I-pentominó al L-pentominó o del L-pentominó al U-pentominó realizando el movimiento de uno de los monominós que lo componen, aportando al perímetro tres unidades en cada uno de los poliominós resultado.

Esto se observa en la figura mostrada a continuación en la que se mueve el monominó azul para pasar del I al L-pentominó (aportando este monominó tres unidades al perímetro en cada pieza) e igual pero con el monominó en rojo para pasar del L al U-pentominó.

Como se trata de un alfabeto en el que cada pieza se puede hallar a partir de la anterior en un círculo indefinido todos los pentominós tienen el mismo perímetro: doce.

Pero, sin embargo, este razonamiento que acabamos de dar como válido no es cierto. En realidad todos los pentominós tienen un perímetro de doce excepto el P-pentominó, que tiene solo once.

Al hacer el razonamiento anterior hemos considerado que en el movimiento del monominó que da como resultado un pentominó a partir del anterior en el ciclo representado siempre aportaba al perímetro tres unidades. Pero en el caso del P-pentominó es sólo de dos al estar el uno de los lados del monominó desplazado en la parte interna del poliominó, sin aportar nada a su perímetro.

Se representa en la siguiente figura:

Es seguro que los pentominós guardan más propiedades de las que aquí se han citado, algunas de las cuales por descubrir.