Cálculo Infinitesimal
Grupo 1B - Curso 08/09
Profesores
June Amillo (Primer semestre)
Despacho: 1317
Tutorías: L, M
y X de 10.30 a 12.15; X de 13:15 a 14.00
( Fuera de estas horas se atenderá mediante petición de hora )
E-mail: amillo@fi.upm.es
Joaquín
Erviti
(Segundo semestre)
Despacho: 1316
E-mail: jerviti@fi.upm.es
Programa
Primer Semestre
- Introducción 5h
- Números Reales 1h
- La recta real
- Aritmética exacta y
aproximada. Precisión y notación científica.
- Desigualdades.
Representación de conjuntos de la recta
- Concepto y representación
de funciones 1h
- Definiciones
- Expresiones. Funciones elementales
- Algoritmos. Funciones definidas a trozos
- Listas,
- Combinación de funciones 1h
- Algebra de funciones
- Composición. Desplazamiento de gráficas.
- Función inversa. Expresión y gráfica
- Propiedades (Visión general) 1h
- Ceros. Cortes con los ejes
- Paridad e imparidad. Posibles simetrías
- Máximos y mínimos. Cotas
- Crecimiento y decrecimiento
- Concavidad y convexidad
- Funciones Elementales 1h
- Funciones Algebraicas
- Funciones trigonometricas y sus inversas
- Funciones Exponencial y Logarítmica
- Funciones Hiperbólicas
- Límites 7h
- Límites 1h
- Manteniendo una función
próxima a un valor prefijado
- Definición formal de límite
- Ejemplos de límites
- Propiedades de los límites 2h
- Unicidad del límite
- Algebra de límites
- Límite de funciones racionales
- Composición y límites
- Regla de las potencias
- Regla del encaje 1h
- Teorema del Sandwich
- Límite de las funciones trigonométricas
- La función sen t/t
- Producto de una función
que tiende a cero por una acotada
- Extensiones del concepto de límite. 1h
- Límites laterales
- Límites en el infinito.
Asíntotas horizontales
- Límites infinitos. Asíntotas verticales
- Funciones continuas 1h
- Definiciones
- Tipos de discontinuidad
- Algebra y composición de
funciones continuas
- Continuidad de las funciones elementales
- Dos Propiedades
importantes de las funciones continuas 1h
- Teorema de los valores intermedios
- Teorema de la existencia
de máximos y mínimos.
- Derivadas 6h
- Concepto de Derivada 1h
- Dos problemas
- Definición de derivada en
un punto.
- Derivadas laterales
- Aproximación lineal 1h
- Linealización y Diferenciales
- Error en la aproximación lineal
- Continuidad y diferenciabilidad
- Reglas para el cálculo de
derivadas 3h
- Algebra de derivadas
- Regla de la cadena
- Derivación implícita
- Derivación de las funciones inversas
- Derivadas de orden superior
- Teoremas Principales 1h
- Condición necesaria de extremo local
- Teorema de Rolle
- Teoremas del valor medio
- Aplicaciones
- Primeras aplicaciones 1h
- Cambios relacionados
- Aproximación mediante diferenciales
- Análisis de Gráficas 1h
- Monotonía
- Concavidad y convexidad
- Máximos y mínimos 2h
- Máximos y mínimos en un
intervalo cerrado
- Máximos y mínimos en un
recinto no acotado
- Criterio de la derivada primera
- Criterio de la derivada segunda
- Regla de LHopital 1h
- Forma 0/0
- Forma ¥ /¥
- Otras formas
- Método de Newton 1h
- Integración 8h
- Integral indefinida 2h
- Antiderivadas
- Propiedades de la integral indefinida
- Técnicas básicas de integración
- Problema de valores iniciales
- Integral definida 2h
- Dos problemas
- Integral de Riemann
- Propiedades de la integral
- Valor medio
- Teoremas Fundamentales 1h
- Primer teorema fundamental del Cálculo
- Segundo Teorema fundamental del Cálculo
- Funciones definidas mediante integrales 1h
- Integrales
dependientes
- La función logaritmo y su
inversa
- Integrales impropias 2h
- Integración en intervalos no acotados
- Integración de funciones no acotadas
- Métodos de
integración y Aplicaciones de la integral 8h
- Repaso de integración básica 1h
- Integrales trigonométricas 1h
- Substituciones trigonométricas 1h
- Integración de funciones racionales 1h
- Area de figuras planas 1h
- Volúmenes de sólidos de
revolución 2h
- Método de discos
- Método de capas
- Volúmenes de sólidos de
secciones conocidas 1h
Segundo Semestre
- Sucesiones y Series Numéricas 6h
- Sucesiones Numéricas 2h
- Definiciones, representación y ejemplos
- Límite de una sucesión. Propiedades
- Convergencia de una sucesión
- Puntos fijos
- Series Infinitas 2h
- Suma de una serie
- Serie geométrica
- Otras series convergentes
- Propiedades
- Criterios de convergencia
de una serie 2h
- Criterio de comparación y
criterio integral
- Criterios de la raíz y
del cociente
- Series alternadas y Convergencia absoluta
- Series de
Potencias y Números complejos 6h
- Series de potencias 2h
- Definición y ejemplos
- Radio e intervalo de convergencia
- Operaciones con la series
de potencias
- Series de Taylor 2h
- Series de Taylor y de
MacLaurin
- Polinomios de Taylor:
Teorema de Taylor con resto
- Estimación del resto y
error de truncamiento
- Números complejos 2h
- Definición, representación y aritmética
- Forma módulo argumental.
Potencias y raíces
- Exponenciales complejas.
Fórmula de Euler.
- Funciones vectoriales. Curvas 8h
- Funciones vectoriales 2h
- Definición y representación
- Límites y continuidad
- Derivación
- Curvas 3h
- Curvas en paramétricas
- Cálculo de la pendiente
- Longitud de un arco de
curva
- Superficie de un sólido
de revolución
- Area encerrada por una
curva en paramétricas
- Geometría del movimiento 3h
- Distancia a lo largo de
una curva
- Vector tangente unitario
- Vector normal unitario
- Componentes tangencial y
normal del vector aceleración
- Curvatura, radio de
curvatura y plano osculador
- Binormal, torsión,
Triedro de Frenet y Fórmulas de Frenet
- Otros
sistemas de coordenadas. Superficies 5h
- Coordenadas polares 2h
- Coordenadas polares
- Representación de curvas
en coordenadas polares
- Integración en coordenadas polares
- Superficies 2h
- Planos, esferas y cilindros.
- Superficies de revolución
- Cuádricas
- Coordenadas cilíndricas y esféricas 1h
- Coordenadas cilíndricas
- Coordenadas esféricas
- Diferenciación
de funciones de dos o más variables 8h
- Funciones de dos o más
variables 1h
- Definiciones
- Dominios
- Gráfica y curvas de nivel
de una función de dos variables
- Superficies de nivel de una
función de tres variables
- Límites y continuidad 2h
- Límites
- Límites direccionales
- Funciones continuas
- Extensión a Funciones de
tres o más variables
- Propiedad de los valores extremos
- Derivadas parciales 1h
- Definición y notación
- Derivadas de orden superior
- Igualdad de las derivadas cruzadas
- Extensión a Funciones de
tres o más variables
- Aproximación lineal 2h
- Diferenciabilidad
- Condición suficiente de diferenciabilidad
- Diferenciabilidad y continuidad
- Linealización
- Diferenciales
- Extensión a Funciones de
tres o más variables
- Regla de la cadena 2h
- En dos variables
- Forma general
- Derivación implícita
- Gradiente.
Máximos y mínimos en varias variables 7h
- Derivadas direccionales y
vector gradiente 2h
- Derivadas direccionales
- Gradiente
- Significado
geométrico
- Extensión a Funciones de
tres o más variables
- Tangente a una curva de
nivel
- Plano tangente y recta
normal a una superficie de nivel
- Máximos y mínimos 2h
- Condición necesaria de extremo
- Puntos críticos
- Extremos en una región
cerrada y acotada
- Criterio de las derivadas
parciales segundas
- Extensión a Funciones de
tres o más variables
- Multiplicadores de Lagrange 2h
- Problemas con una
condición de ligadura
- Problemas con dos o más
condiciones de ligadura
- Desarrollo de Taylor 1h
Bibliografía
Básica
Los dos primeros libros están orientados a un curso de Cálculo con Laboratorio. Los dos últimos a un curso teórico más tradicional.
- Amillo J., F. Ballesteros,
R. Guadalupe y L. Martín, Cálculo: Conceptos, Ejercicios y Sistemas de Computación
Matemática (Maple V), McGraw-Hill, Madrid 1996
- Dubinsky Ed, K. Schwigendorf & D. M. Mathews, Calculus, Concepts & Computers, McGraw-Hill, New York, 1995
- Salas
S. L. & E. Hille, Calculus: One and Several Variables, John
Wiley,
- Thomas G. B. & R. L. Finney, Calculus and Analytic Geometry, Addison-Wesley Reading, Massachusets, 1996 (Traducción: 2 vols. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana)
Avanzada
Solo
para alumnos que deseen conocer los fundamentos teóricos del Cálculo con mayor
profundidad.
- Fisher
E., Intermediate Real Analysis, Springer Verlag,
- Fleming
W, Functions of Several Variables, Springer Verlag,
- Protter
M. H. & C. B. Morrey, A First Course in Real Analysis, Springer
Verlag,
- Rudin
W, Principles of Mathematical Analysis,
Normas
La asignatura
- Tiene dos componentes: Una
Teórica-Práctica (T) y otra de Laboratorio (L).
- La componente T se lleva a
cabo en aula de pizarra y en ella se desarrollan los temas propios del
programa junto con los ejercicios necesarios para su comprensión. El
alumno dispone en esta página web de material teórico, problemas
de examen
resueltos y una colección de problemas a resolver.
- Durante el primer semestre
la componente L se lleva a cabo en aula informática y en ella se hace uso
del sistema de computación Maple. Consta de seis prácticas integradas en
los temas del programa más una de introducción.
- Las prácticas de
laboratorio antes mencionadas se realizan en el horario habitual asignado
a prácticas y se completan mediante trabajo personal o en grupo. Los
alumnos que no dispongan de medios computacionales propios podrán
completar dichas prácticas en las salas de uso libre que proporcione la
Facultad.
- Al principio de curso se
establecerán turnos de asistencia al aula informática si fuera necesario.
Los alumnos repetidores no necesitan realizar las prácticas de laboratorio
nuevamente.
- Durante el Segundo semestre
la componente L consistirá en trabajos propuestos por el profesor.
Exámen Parcial de Febrero
- Al finalizar la primera
parte se realizará un examen parcial compuesto de un exámen de Teoría y
otro de Laboratorio.
- El examen de Teoría se
compondrán de una colección de ejercicios teórico-prácticos sobre los
contenidos del programa desarrollados durante el semestre.
- Dicho exámen se realizará
al finalizar el primer semestre en la fecha que fije el Vicedecanato de
Estudios.
- En la calificación de
teoría se tendrán en cuenta el trabajo de casa que el alumno entregue al inicio
de las clases. Estos trabajos supondrán el 10% de la nota de teoría T.
- El exámen de laboratorio
tiene por objeto estimar la contribución personal de cada alumno a la
realización de las prácticas y consistirá en la realización de parte de
una práctica en el aula informática sin otro material de apoyo que el
propio sistema de computación.
- Este examen de laboratorio
se realizará al final del semestre en el horario habitual del mismo. Para
presentarse al mismo será necesario asistir regularmente a la sala de
prácticas así como llevar éstas al día y entregarlas al final del
semetre.
- La calificación del examen
parcial se llevará combinando la nota de teoría T con la de laboratorio
L, siempre que ambas sean superior o igual a 4, mediante la
siguiente fórmula
P=T (1+0.02 L).
- Para aprobar la asignatura
por curso es necesario alcanzar una calificación superior o igual a 4
puntos en cada uno de los exámenes parciales y una calificación media de
los dos superior o igual a 5.
Examen Ordinario de Junio
- El examen final de Junio se
efectuará en dos partes en correspondencia con cada una de las partes de
la asignatura.
- Un alumno no está obligado
a presentarse a la primera parte si en el parcial correspondiente ha
obtenido una calificación superior o igual a 4 en cuyo caso se le contará
dicha nota en el examen de Junio.
- El examen será
exclusivamente de la componente Teórico-Práctica.
- La calificación obtenida en
la componente L se tendrá en cuenta en las mismas condiciones que para la
calificación del examen parcial.
Examen Extraordinario de
Septiembre
- El examen será
exclusivamente de la componente Teórico-Práctica y se realizará en dos
partes.
- El alumno está obligado a
presentarse a la totalidad de la asignatura aunque tuviera aprobado alguno
de los exámenes parciales o una de las partes del examen de Junio.
- La calificación obtenida en
el Laboratorio se tendrá en cuenta en cada una de las partes en las mismas
condiciones que para la calificación por curso.
Horario de clases
Primer Cuatrimestre
Teoría: M de 12.15 a 14.15 horas; X de
11.15 a 12.15. Aula: 6105
Laboratorio: L de 12.15 a 14.15
horas. Aula: Los Verdes
Hojas de Ejercicios
Para visualizar
las hojas de ejercicios es necesario el visualizador Acrobat Reader 
Funciones
y Límites
Derivadas
Aplicaciones
del Cálculo Diferencial
Integración
Series
Curvas
Derivadas
Parciales
Gradiente,
Máximos y Mínimos
Prácticas de Laboratorio
Para
visualizar las hojas de laboratorio es necesario el visualizador Acrobat
Reader
Práctica 1
Práctica 2
Práctica 3
Práctica 4
Práctica 5
Práctica 6
Material Complementario
Para
visualizar las hojas de material es necesario el visualizador Acrobat
Reader
Números
Reales
Funciones
Límites y
Continuidad
Derivadas
Teorema
del Valor Medio y Aplicaciones
Integración
Sucesiones
y Series
Funciones
Vectoriales y Curvas
Derivadas
Parciales
Geometría
de Curvas
Dos
Problemas de Máximos y Mínimos
Exámenes
Para
visualizar los exámenes es necesario el visualizador Acrobat Reader
Parcial
Febrero 98
Parcial
Junio 98
Final
Junio 98
Final
Septiembre 98
Parcial
Febrero 99
Parcial
Junio 99
Final
Junio 99
Final
Septiembre 99
Parcial
Febrero 00
Parcial
Junio 00
Final
Junio 00
Final
Septiembre 00
Parcial
Febrero 01
Parcial
Junio 01
Final
Junio 01
Final
Septiembre 01
Parcial
Febrero 02
Parcial
Junio 02
Final
Junio 02
Final Septiembre 02
Parcial Febrero 03
Final Junio 03
Final Septiembre 03
Parcial Febrero 04
Final Junio 04
Final Septiembre 04
Parcial Febrero 05
Final Junio 05
Final Septiembre 05
Parcial Febrero 06
Final Junio 06
Final Septiembre 06
Parcial Febrero 07
Final Junio 07
Final Septiembre 07
Parcial Febrero 08
Final Junio (1ª Parte) 08
Final Junio (2ª Parte) 08
Parcial Junio08
Final Septiembre (2ª Parte) 08
Parcial Febrero 09
Ultima Hora
23 de Septiembre de 2009: Esta página
web corresponde al curso 08-09 y será actualizada cuando se conozca la nueva
distribución académica del segundo semestre.
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