Cálculo Infinitesimal

Grupo 12M - Curso 2003/2004

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Curso

Primero, anual

Carácter

Obligatoria

Número de créditos

15 (9t + 6p)

Profesores

Primer Cuatrimestre

Nieves Castro

Despacho: 1319 (Bloque I)

Tutorías:

Segundo Cuatrimestre

Nieves Castro

Despacho: 1319 (Bloque I)

Tutorías:


Programa

  1. Introducción.
    1. Conjuntos numéricos: N, Z, Q, I, R, C. .
    2. Valor absoluto. Desigualdades.
    3. Cotas. Extremos superiores e inferiores. Principio del supremo.
    4. Números complejos. Potencias y raices. Exponenciales. Teorema Fundamental del Álgebra.
    5. Funciones.
    6. Composición de funciones.
    7. Propiedades.
    8. Algunos tipos de funciones.
  2. Límites y Continuidad.
    1. Límite de una función en un punto de acumulación de su dominio.
    2. Límites laterales.
    3. Propiedades de los límites.
    4. Funciones Continuas. Tipos de Discontinuidad.
    5. Propiedad de conservación del signo.
    6. Teorema de Bolzano.
    7. Propiedad de Darboux de las funciones continuas.
    8. Teoremas de acotación local y global.
    9. Máximos y mínimos absolutos.
    10. Teorema de Weierstrass.
  3. Derivadas.
    1. Concepto de derivada. Derivadas sucesivas. Clase de una función. Continuidad de las funciones derivables.
    2. Reglas para el cálculo de derivadas.
    3. Máximos y mínimos relativos. Condiciones necesarias.
    4. Teoremas de Rolle, Cauchy y Lagrange.
    5. Propiedad del valor intermedio de la derivada.
  4. Aplicaciones del Cálculo diferencial
    1. Análisis de gráficas
    2. Regla de L'Hôpital.
    3. Máximos y mínimos absolutos.
    4. Método de Newton.
  5. Integración.
    1. Integral indefinida.
    2. Integral de definda. Integral superior e inferior. Propiedades.
    3. Caracterización de las funciones integrables.
    4. La integral como proceso de paso al límite.
    5. Funciones definidas mediante integrales. Teorema fundamental del cálculo.
    6. Integrales impropias.
  6. Métodos de Integración y aplicaciones de la integral
    1. Métodos de integración.
    2. Teorema del cambio de variable. Ejemplos.
    3. Cálculo de áreas de figuras planas.
    4. Volúmenes de sólidos de revolución.
    5. Volúmenes de sólidos de secciones conocidas.
  7. Sucesiones y Series Numéricas.
    1. Sucesiones en R. Unicidad del límite. Acotación.
    2. Sucesiones monótonas. Propiedades. Número e.
    3. Propiedades de los límites.
    4. Regla del sandwich.
    5. Subsucesiones. Sucesiones recurrentes.
    6. Teorema de Bolzano-Weierstrass.
    7. Series Numéricas.
    8. Condición necesaria para la convergencia.
    9. Divergencia de la armónica. Serie geométrica.
    10. Series de términos no negativos. Criterio de comparación. Criterios de la raíz y del cociente.
    11. Armónica generalizada. Criterio de Pringsheim.
    12. Series alternadas. Criterio de Leibnitz.
    13. Convergencia absoluta y condicional. Teorema de la convergencia absoluta.
  8. Sucesiones y series de funciones.
    1. Sucesiones. Convergencia puntual y uniforme.
    2. Teoremas de convergencia uniforme y acotación, continuidad, derivación e integración.
    3. Series de funciones. Prueba M de Weierstrass.
    4. Series de potencias. Radio de convergencia. Fórmula de Hadamard.
    5. Series de de Taylor.
  9. Funciones vectoriales. Curvas
    1. Funciones vectoriales.
    2. Curvas.
    3. Geometría del movimiento.
  10. Otros sistemas de coordenadas. Superficies.
    1. Coordenadas polares.
    2. Superficies.
    3. Coordenadas cilíndircas y esféricas.
  11. Diferenciación de funciones de varias variables.
    1. Definiciones. Límites y continuidad.
    2. Derivadas parciales. Obtención de la matriz Jacobiana. Condiciones suficientes de diferenciabilidad.
    3. Derivadas direccionales. Vector gradiante.
    4. Diferencibilidad. Continuidad de las funciones diferenciables.
    5. Regla de la cadena.
    6. Derivadas sucesivas. Teorema de Schwartz.
    7. Fórmula de Taylor.
  12. Máximos y mínimos de varias variables.
    1. Condición necesaria. Puntos críticos. Ejemplos.
    2. Matriz hessiana. Condiciones suficientes.
    3. Puntos regulares. Máximos y mínimos condicionados.

Hojas de Problemas:


Exámenes de cursos anteriores

Exámenes del curso 96-97:

Exámenes del curso 97-98:

Exámenes del curso 98-99:

Exámenes del curso 99-00:

Exámenes del curso 2000-01:

Exámenes del curso 2001-02:

Exámenes del curso 2002-03:


Tutoriales:


Bibliografía


Normas


Actualizado en Octubre de 2003